一、公式的推导思路一[过渡语]我们前面学习了乘方和多项式与多项式相乘的法则,能不能将(a+b)2转化为我们学过的知识去解决呢?我们知道a2=a·a,所以(a+b)2=(a+b)(a+b),这样就转化成多项式与多项式的乘积了.像研究平方差公式一样,我们探究一下(a-b)2的运算结果有什么规律.计算下列各式,你能发现什么规律?(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=;(2)(p-1)2=(p-1)(p-1)=;(3)(m+2)2=;(4)(m-2)2=.让学生做题,然后引导学生发现(1)结果中的2p=2·p·1,(1)与(2)比较结果中只有一次项有符号之差.请你观察一下式子的结构特点,并用语言叙述出来.完全平方公式的结构特征:①左边是两个相同二项式相乘,即一个二项式的平方——两个数和(或差)的平方;②右边是一个三项式,其中两项是左边的二项式两项的平方和,第三项是左边两项的积的2倍.(首平方加尾平方,乘积二倍在中央)[设计意图]4道小题是对前边进行的运算的讨论,目的是让学生通过观察、归纳,鼓励他们发现这个公式的一些特点,如公式左右边的特征,便于进一步应用公式计算.【总结】两数和(或差)的平方等于这两数的平方和再加(或减)它们的积的2倍.符号叙述:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2.其实我们还可以从几何角度去解释完全平方公式.你能根据图(1)和图(2)中的面积说明完全平方公式吗?观察图形(1),可以看出大正方形的边长是a+b,得出(a+b)2=a2+2ab+b2.这正好符合完全平方公式.观察图形(2),可以看出大正方形的边长是a,小正方形的边长是a-b,得出(a-b)2=a2-2ab+b2.这正好符合完全平方公式.[设计意图]数学源于生活,又服务于生活,通过正方形的面积验证完全平方公式,可以进一步理解完全平方公式的结构特征.思路二计算(x+a)(x+b).让学生利用多项式乘多项式法则进行计算.解:(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab引导观察:1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述式子将会成为怎样的式子?计算结果是什么?(学生回答:变为(x+a)(x+a),计算结果是x2+2ax+a2.由此教师指出可得另一个乘法公式,即(a+b)2=a2+2ab+b2,由此引入课题.)2.这个公式的左边和右边各有什么特点?(引导学生观察,说出公式左边和右边的特点,并能用语言叙述,教师再加以纠正、完善.)3.(a+b)2=a2+b2对吗?为什么?两数和的平方,结果应该是三项式.(强化学生对公式结构的理解,防止今后出现类似的错误.)4.你会用(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2吗?引导学生将“-b”看作一个数,将(a-b)2化为[a+(-b)]2=a2+2a×(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2,并指出这也是一个乘法公式:(a-b)2=a2-2ab+b2.5.你能用图形验证:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2吗?在左图中,大正方形的面积是(a+b)2,它由两个小正方形和两个相同的长方形组成,两个小正方形的面积分别是a2,b2,长方形的面积是ab.所以有等式(a+b)2=a2+2ab+b2.在右图中,大正方形的面积是a2,两个小正方形的面积分别是(a-b)2,b2,两个相等的长方形面积都是(a-b)·b,于是有a2=(a-b)2+2(a-b)·b+b2,即(a-b)2=a2-2(a-b)·b-b2=a2-2ab+b2.6.比较(a+b)2=a2+2ab+b2及(a-b)2=a2-2ab+b2这两个公式.它们有什么不同?有什么联系?(引导学生进一步总结公式的结构特点,公式的左边是两数和(或差)的平方,右边是一个三项式,其中两项是这两个数的平方,另一项是这两个数积的2倍.)(a+b)2=a2+2ab+b2.这就是说,两数和的平方,等于它们的平方和加上这两数积的2倍.[知识拓展](1)运用完全平方公式的关键在于明确公式的特征:公式的左边是两数和(或差)的平方,公式的右边是一个三项式,是左边两数的平方和加上(或减去)左边两数积的2倍.(2)①公式中字母的含义:公式中字母a和b可以是具体的数,也可以是整式(单项式或多项式).②利用完全平方公式计算多项式的乘法,最容易漏写2ab项,实际运算中要特别注意.③完全平方公式与平方差公式联合使用,要严格分清公式的各自特点,以防混淆.(3)逆用完全平方公式为:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,把三项式写成了积的形式,这是后面要学习的因式分解.二、例题讲解[过渡语]当遇到两个数的和或差的平方时,我们就可以利用完全平方公式直接计算.运用完全平方公式计算.(1)(4m+n)2;(2)(y-12)2.解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2.(2)(y-12)2=y2-2·y·12+(12)2=y2-y+14.可由学生口答完成,教师多媒体展示...
