勾股定理的逆定理用处多一、用于判断三角形的形状例1若△ABC的三边、、满足，试判断△ABC的形状？分析：判断△ABC的形状一般从两方面考虑：一是从角的大小考虑；二是从边的关系考虑.而题目已知条件只提供了关于边的方程，可由该方程求出、、的特殊关系.解：∵，∴，即.∴，，，∴.又，故由、、构成的三角形为直角三角形.二、用于判断一个角是直角例2如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝CD，试说明∠AEF＝90°.分析：要说明∠AEF＝90°，只要说明△AEF为直角三角形.由勾股定理的逆定理，只要说明即可.解：设正方形ABCD的边长为，则BE＝CE＝2，CF＝，DF＝3.在Rt△ABE中，AE＝AB＋BE＝16＋4＝20，在Rt△ECF中，EF＝EC＋CF＝4＋＝5，在Rt△ADF中，AF＝AD＋DF＝16＋9＝25.于是得AE＋EF＝AF，∴∠AEF＝90°.三、用于求边长例3如图2，已知△ABC三边长为BC＝6，AC＝8，AB＝10，求BC边上的中线.1/3分析：要求中线AD的长，一般将AD放在直角三角形中，由于题目已知条件未说明某角为直角，只知道三角形的三边，可通过勾股定理的逆定理分析三边能否得到某个直角三角形.解：∵AC＋BC＝＝100＝AB，∴∠C＝90°.又∵AD为中线，∴CD＝BC＝3，则AD＝AC＋CD＝＝73，∴AD＝.四、用于求面积例4如图3，已知△ABC中，AC＝17cm，AB＝15cm，BC边上的中线AD＝4cm，求△ABC的面积.分析：直接求△ABC的面积很困难，若延长AD至E点，使DE＝AD，连接BE，则可得到△ACD≌EBD，所以只需求出△ABE的面积，即是△ABC的面积.解：延长AD至E点，使DE＝AD，则AE＝2AD＝8cm，连接BE.∵AD＝DE，∠ADC＝∠EDB，CD＝BD，∴△ACD≌EBD（SAS）∴BE＝AC＝17cm.∵AE＋AB＝＝289＝AC，∴△ABE为直角三角形，2/3∴S△ABC＝S△ABE＝AB×BE＝×15×8＝60cm.3/3
