勾股定理的逆定理用处多一、用于判断三角形的形状例1若△ABC的三边、、满足,试判断△ABC的形状?分析:判断△ABC的形状一般从两方面考虑:一是从角的大小考虑;二是从边的关系考虑.而题目已知条件只提供了关于边的方程,可由该方程求出、、的特殊关系.解:∵,∴,即.∴,,,∴.又,故由、、构成的三角形为直角三角形.二、用于判断一个角是直角例2如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F为CD上一点,且CF=CD,试说明∠AEF=90°.分析:要说明∠AEF=90°,只要说明△AEF为直角三角形.由勾股定理的逆定理,只要说明即可.解:设正方形ABCD的边长为,则BE=CE=2,CF=,DF=3.在Rt△ABE中,AE=AB+BE=16+4=20,在Rt△ECF中,EF=EC+CF=4+=5,在Rt△ADF中,AF=AD+DF=16+9=25.于是得AE+EF=AF,∴∠AEF=90°.三、用于求边长例3如图2,已知△ABC三边长为BC=6,AC=8,AB=10,求BC边上的中线.1/3分析:要求中线AD的长,一般将AD放在直角三角形中,由于题目已知条件未说明某角为直角,只知道三角形的三边,可通过勾股定理的逆定理分析三边能否得到某个直角三角形.解:∵AC+BC==100=AB,∴∠C=90°.又∵AD为中线,∴CD=BC=3,则AD=AC+CD==73,∴AD=.四、用于求面积例4如图3,已知△ABC中,AC=17cm,AB=15cm,BC边上的中线AD=4cm,求△ABC的面积.分析:直接求△ABC的面积很困难,若延长AD至E点,使DE=AD,连接BE,则可得到△ACD≌EBD,所以只需求出△ABE的面积,即是△ABC的面积.解:延长AD至E点,使DE=AD,则AE=2AD=8cm,连接BE.∵AD=DE,∠ADC=∠EDB,CD=BD,∴△ACD≌EBD(SAS)∴BE=AC=17cm.∵AE+AB==289=AC,∴△ABE为直角三角形,2/3∴S△ABC=S△ABE=AB×BE=×15×8=60cm.3/3