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齐民友高数下册上课第08章02节点的坐标与向量的坐标VIP免费

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3第2节点的坐标与向量的坐标2.1空间直角坐标系这里“空间”指的是我们生活在的空间。如果把平面直角坐标系放在空间中,我们会发现缺一条表示高度的坐标轴。因此,空间中三条有共同原点且两两互相垂直的数轴,(这三条数轴分别叫轴(横轴),轴(纵轴),轴(竖轴),且统称为坐标轴)它们的正方向要符合右手规则(右手握住轴,当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时,竖起的大拇指的指向就是轴正向),构成一个空间直角坐标系(图2.).可以把轴,轴配置在水平面上,而轴则是铅垂线;也可以不这样.图2.1xyOz10离散数学取定空间直角坐标系之后,就可以建立空间点与坐标之间的对应关系.(1)设为空间的一定点,过点分别作垂直于轴,轴,轴的三个平面,它们与轴,轴,轴的交点依次为,这三点在轴,轴,轴的坐标依次为,于是:空间点就惟一地确定了一个有序数组,称为点的坐标.(2)反过来,任意给定坐标,我们可以在轴上取坐标为的点,在轴上取坐标为的点,在轴取坐标为的点,然后过分别作轴、轴、轴的垂直平面,这三个平面的交点就是坐标确定的惟一的点(图2.2).这样,通过空间直角坐标系,我们建立了空间点和坐标之间的一一对应关系.依次称,,为点的横坐标、纵坐标和竖坐标,并可将点记作.如同由于平面点与坐标一一对应就有了平面解析几何一样,由于空间点与坐标一一对应就有了空间解析几何——用代数方法研究空间几何对象。图2.2xyOz(0,0,)Rz(0,,0)Qy(,0,0)Px(,,)Mxyz13第1章集合三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称为坐标面.由轴与轴所决定的坐标面称为面,类似地还有面与面.这三个坐标面把空间分成了八个部分,每一部分称为一个卦限,如图2.3所示,八个卦限分别用罗马字母Ⅰ,Ⅱ,,Ⅷ表示.第一、二、三、四卦限均在面的上方,按逆时针方向确定,其中含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限叫做第一卦限.第五、六、七、八卦限均在面的下方,也按逆时针方向确定,它们依次分别在第一至四卦限的下方.思考题:1.试确定空间直角坐标系的各个卦限中点的坐标的符号?题目:1.找出空间中固定点的坐标;2.给定,在空间中找出以为坐标的点;3.做一个表,确定空间中各部分点的坐标特点。类似于平面解析几何,在空间中也可以用点的坐标计算两点间的距离.设,为空间的两点,过,各作三个分别垂直于三坐标轴的平面,这六个平面围成一个以为对角线的长方体,如图2.4所示.可见此长方体各棱的长度分别是,,,从而得对角线的长度,亦即空间两点,间的距离公式为.特别地,点与坐标原点的距离为.(2.1)xOⅥyⅡⅢzⅤⅧⅠ图2.3ⅦⅣQ图2.4xyzP2M1MR1P1Q2P2R1R2Q10离散数学2.2向量的坐标表示称空间直角坐标系中,沿轴正向的单位向量为坐标系下的标准单位向量,分别记为.由于对任意向量,总可平移使其起点位于坐标原点,从而存在终点,满足.以为对角线作长方体(图2.5),设点在轴,轴,轴上的投影点分别为,和,有.设在轴,轴,轴上的坐标分别为,则,因此,.(2.2)我们称(2.2)式为向量的标准分解式,称为向量沿三个坐标轴方向的分向量.向量与它的坐标分解式是一一对应的.显然,给定向量,就确定了点及三个分向量,进而确定了有序数组,称为向量的坐标,从而确定了的标准分解式(2.2);反之,给定坐标,则由(2.2)式就确定了向量和的标准分解式.于是,向量,标准分解式以及坐标建立了一一对应的关系:因此我们把向量,坐标以及的标准分解式不加区别,记作.空间中点的坐标与向量的坐标是两个不同的概念,符号也不一样。点和它的坐标互相联想;向量和它的坐标以及它的标准分解式互相联想。空间任一点都对应一个向量,称为点(关于原点)的向径.由向量的坐标的定义知向径.记号表示点,向量表示为.当向量的始点放在坐标原点时,向量的坐标与终点的坐标相等。有了向量的坐标,我们就可以用代数方法研究向量代数。向量代数有两套互相平行、互相翻译的理论:1.用空间立体几何描述的向量代数;2.用坐标描述的向量代数。其中用坐标描述的向量代数是我们的重点、考点。O(0,0,)zRa(0,,0)yQa(,0,0)xPa(,,)xyzMaaa图2.5xyzN13第1章集合(题目(考的):用坐标作向量的...

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