“8字形”在七年级几何中的妙用----好题推荐文昌湖区萌水中学王翠云13518634321原题章节：七年级下册第八章《平行线的有关证明》复习题原题位置：P64复习题联系拓广第18题原题：18.已知:如图，AM,CM分别平分∠BAD和∠BCD（1）如果∠B=32°，∠D=38°，求∠M的度数；（2）求证：∠M=（∠B+∠D）好题原因：题目本身难度不是很大，但对于七年级的学生来说解决这类综合试题，运用常规的解题方法难以解决，在解决本题时复习了三角形中出现的“8字形”特征学生迎刃而解，“8字形”特征在几何证明中作用很大，这道题就是应用“8字形”的特征来解决的好题，同时也注意了整体思想的利用。（1）解：根据三角形内角和定理∠B+∠BAM=∠M+∠BCM∠BAM-∠BCM=∠M-∠B同理,∠MAD-∠MCD=∠D-∠M∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD∴∠BAM=∠MAD,∠BCM=∠MCD∴∠M-∠B=∠D-∠M∴∠M=(∠B+∠D)=(32°+38°)=35°（2）证明：根据三角形内角和定理∠B+∠BAM=∠M+∠BCM∠BAM-∠BCM=∠M-∠B同理,∠MAD-∠MCD=∠D-∠M∵AM、CM分别平分∠BAD和∠BCD∴∠BAM=∠MAD,∠BCM=∠MCD∴∠M-∠B=∠D-∠M∴∠M=(∠B+∠D)应用训练：如图（1），AD，BC交于O点，根据“三角形内角和是180°”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①∠DOC=∠AOB；②∠D+∠C=∠A+∠B．【提出问题】分别作出∠BAD和∠BCD的平分线，两条角平分线交于点E，如图（2），∠E与∠D、∠B之间是否存在某种数量关系呢？【解决问题】为了解决上面的问题，我们先从几个特殊情况开始探究．已知∠BAD的平分线与∠BCD的平分线交于点E．（1）如图（3），若AB∥CD，∠D=30°，∠B=40°，则∠E=．（2）如图（4），若AB不平行CD，∠D=30°，∠B=50°，则∠E的度数是多少呢？小明是这样思考的，请你帮他完成推理过程：易证∠D+∠1=∠E+∠3，∠B+∠4=∠E+∠2，∴∠D+∠1+∠B+∠4=，∵CE、AE分别是∠BCD、∠BAD的平分线，∴∠1=∠2，∠3=∠4．∴2∠E=，又∵∠D=30°，∠B=50°，∴∠E=度．（3）在总结前两问的基础上，借助图（2），直接写出∠E与∠D、∠B之间的数量关系是：．【类比应用】如图（5），∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E．已知：∠D=m°、∠B=n°，（m＜n）求：∠E的度数．
