概率论 第十三讲 协方差与相关系数VIP免费

教学目的：1.矩的概念.2.协方差与相关系数3切贝谢夫不等式第十三讲协方差与相关系数教学内容：第三章，§3.6～3.7。一矩若()kEX存在，称之为X的k阶原点矩。所以E(X)是一阶原点矩，D(X)是二阶中心矩若kEXXE)(存在，称之为X的k阶中心矩。设X为离散r.v.分布为(),kkPXxp1()kkiiiEXxpX连续r.v.，d.f.为)(xf()()kkEXxfxdx定义二协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题是用一个怎样的数去反映这种联系.[()][()]EXEXYEY数反映了随机变量X,Y之间的某种关系称[()][()]EXEXYEY为X,Y的协方差.记为cov(,)[()][()]XYEXEXYEY称)(),cov(),cov()(YDYXYXXD为（X,Y）的协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义定义若D(X)>0,D(Y)>0,称)()(),cov()()()())(((YDXDYXYDXDYEYXEXE为X,Y的相关系数，记为)()(),cov(YDXDYXXY事实上，),cov(YXXY若,0XY称X,Y不相关.无量纲的量若(X,Y)为离散型，11cov(,)[()][()]ijijijXYxEXyEYp若(X,Y)为连续型，cov(,)[()][()](,)XYxEXyEYfxydxdy协方差和相关系数的计算)()()(),cov(YEXEXYEYX)()()(21YDXDYXD求cov(X,Y),XY10pqXP10pqYP例1已知X,Y的联合分布为XYpij1010p00q00,D(Y)>0时，当且仅当0()[()]1PYEYtXEX时,等式成立—Cauchy-Schwarz不等式证令2()[()][()]gtEYEYtXEX)(),cov(2)(2XDtYXtYD0)(tg对任何实数t,0)()(4),(cov42YDXDYX即)()(|),cov(|2YDXDYX等号成立0)(tg有两个相等的实零点)()()(),cov(0XDYDXDYXt0))](())([(20XEXtYEYE0)(0tg即显然0))](())([(0XEXtYEYE0))](())([(0XEXtYEYD1]0))(())([(0XEXtYEYP1]0))(())([(0XEXtYEYP即1))](())([(0XEXtYEYP即Y与X有线性关系的概率等于1,这种线性关系为1)()()()(XDXEXYDYEYP完全类似地可以证明)()()(222YEXEXYE当E(X2)>0,E(Y2)>0时,当且仅当1)(0XtYP时,等式成立.相关系数的性质1||XY1||XYCauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1，这种线性关系为1XYP.)(/)(,)(/)(YDEYYYXDEXXX1XY0),cov(YX1XY0),cov(YX1XYP1XYP如例1中X,Y的联合分布为XYpij1010p00q0