2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值1.离散型随机变量X的分布列的概念是什么?若离散型随机变量X的所有可能取值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则下列表格称为X的分布列.pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X2.两点分布与二项分布各有什么特点?两点分布:随机变量X只有0和1两个取值,其分布列为:1()(1)kkPXkpp,k=0,1.二项分布:每次试验的结果只有A发生和A不发生两种可能,其分布列为:,k=0,1,2,…,n.()(1)kknknPXkCpp对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中,有时我们需要知道随机变量的平均取值.因此,如何根据离散型随机变量的分布列,计算随机变量的均值,就成为一个研究课题.1.理解离散型随机变量的均值的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值.(重点)2.掌握离散型随机变量的均值的性质,掌握两点分布、二项分布的均值.(重点)3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题.(难点)探究点1离散型随机变量的均值的概念问题一:某商场将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3︰2︰1的比例混合销售,则在1kg混合糖果中,这三种糖果的质量分别为多少?111kg,kg,kg236问题二:以三种糖果的平均单价作为混合糖果的单价是否合理?如何确定混合糖果的合理定价?合理定价为:11118243623/kg.236(元)不合理:问题三:如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,从中任取一颗糖果对应的单价为X,则随机变量X的分布列是什么?混合糖果的合理定价与这个分布列有什么关系?P362418X121316合理定价=随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和.问题四:若某射手射击所得的环数X的分布列为如何估计该射手在n次射击中每次射击的平均环数?0.220.290.280.110.1P109876X1(0.160.1170.2880.2990.2210)8.42.Xnnnnnn利用分布列计算射手每次射击的平均环数的一般规律是什么?平均环数=随机变量的每个取值与其对应的概率的乘积之和.一般地,若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.pn…pi…p2p1Pxn…xi…x2x1X问题一:若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,那么P(Y=axi+b)与P(X=xi)(i=1,2,…,n)有什么关系?P(Y=axi+b)=P(X=xi).探究点2均值的性质及特殊分布列的均值问题二:若随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则随机变量Y=aX+b的分布列是什么?P(Y=axi+b)=pi,i=1,2,…,n.问题三:若Y=aX+b,则E(Y)与E(X)的关系如何?由此可得E(aX+b)等于什么?E(Y)=aE(X)+b,E(aX+b)=aE(X)+b.问题四:若随机变量X服从两点分布,k=0,1,则E(X)等于什么?k1-kP(X=k)=p(1-p)E(X)=p.问题五:若X~B(n,p),则E(X)等于什么?E(X)=np.(1)随机变量的均值是常数,而样本的平均值,随样本的不同而变化.(2)对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体均值.随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别?【想一想】例1在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?解:因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以.7.03.007.01)0(0)1(1)(XPXPXE例2一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中仅有一个选项正确.每题选对得5分,不选或选错不得分,满分100分.学生甲选对任意一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值.解:设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是X1和X2,则X1~B(20,0.9),X2~B(20,0.25).所以E(X1)=20×0.9=18,E(X2)=20×0.25=5.由于每题选对得5分,所以学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X1和5X2.这样,他们在测验中成绩的均值分别是E(5X1)=5E(X1)=5×18=90,E(5X2)=5E(...