专题二实物情景中的数学典例探究典例探究专题二┃实物情景中的数学典例探究实物情景中的数学，是指有实际背景或现实意义的数学问题，其特点是：(1)创设新情境，赋予新内涵；(2)试题呈现形式活泼新颖；(3)一般取材于学生熟悉的生活实际，具有时代气息和教育价值．预计2014年仍会与实际生活相结合考查实物情景中的数学问题．典例探究例1一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线OAB，如图①所示，量得连杆OA长为10cm，雨刮杆AB长为48cm，∠OAB＝120°.若启动一次刮雨器，雨刮杆AB正好扫到水平线CD的位置，如图②所示．(1)求雨刮杆AB旋转的最大角度及O、B两点之间的距离(结果精确到0.01)；(2)求雨刮杆AB扫过的最大面积(结果保留π的整数倍)．(参考数据：sin60°＝32，cos60°＝12，tan60°＝3，721≈26.851，可使用科学计算器)图T2－1专题二┃实物情景中的数学典例探究【点拨交流】1．刮雨器问题可以转化为一个怎样的数学模型？2．在△OAB中，已知两边及其夹角，如何求OB的长？3．雨刮杆AB扫过的最大面是一个不规则图形，怎样求雨刮杆AB扫过的最大面积？专题二┃实物情景中的数学典例探究【点拨交流】1．刮雨器问题可以转化为解直角三角形和求扇形面积的问题．2．如果是直角三角形，则直接利用勾股定理求解，如果不是直角三角形，需要转化为直角三角形来求解．由∠OAB＝120°想到过点O作OE⊥AB交BA的延长线于点E，得到一个含60°角的Rt△OAE和一个非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE＝60°，斜边OA＝10，可求出OE、AE的长，进而求得Rt△OEB中EB的长，再由勾股定理求出斜边OB的长．3．雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积(以OB、OA为半径的半圆面积之差)．专题二┃实物情景中的数学典例探究专题二┃实物情景中的数学【解题思路】建模→根据已知条件建立直角三角形和扇形的数学模型↓转化→将非直角三角形转化为直角三角形↓勾股定理→求出斜边OB的长↓转化→雨刮杆AB扫过的最大面积就是一个半圆环的面积典例探究专题二┃实物情景中的数学解(1)雨刮杆AB旋转的最大角度为180°.连接OB，过O点作AB的垂线交BA的延长线于点E， ∠OAB＝120°，∴∠OAE＝60°.在Rt△OAE中， ∠OAE＝60°，OA＝10，∴sin∠OAE＝OEOA＝OE10，∴OE＝53，∴AE＝5.∴EB＝AE＋AB＝53.在Rt△OEB中， OE＝53，EB＝53，∴OB＝OE2＋BE2＝2884＝2721≈53.70(cm)；(2) 雨刮杆AB旋转180°得到CD，即△OCD与△OAB关于点O中心对称，∴△BAO≌△DCO，∴S△BAO＝S△OCD，∴雨刮杆AB扫过的最大面积S＝12π(OB2－OA2)≈1392π(cm2)．典例探究例2[2012·江西]小红家的阳台上放置了一个晒衣架如图T2－2①.如图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm.(1)求证：AC∥BD；(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(精确到0.1°)；(3)小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．(参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.533，可使用科学计算器)图T2－2专题二┃实物情景中的数学典例探究【点拨交流】1．要证明两直线平行，我们一般怎么做？2．如何求∠OEF的度数？3．如何说明垂挂在晒衣架上的衣服是否会拖落到地面？专题二┃实物情景中的数学【点拨交流】1．一般找内错角相等或同位角相等或同旁内角互补．2．过点O作OM⊥EF交EF于M，构造直角三角形，利用三角函数可求得∠OEF的度数．3．过点A作AH⊥BD于点H，利用Rt△OEM∽Rt△ABH，求出AH的长度，或过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中，利用sin∠ABD＝AHAB，求出AH的长度，再与小红的连衣裙穿在衣架后的总长度比较．典例探究专题二┃实物情景中的数学【解题思路】建模→根据已知条件建立等腰三角形或相似三角形的数学模型↓转化→要证明AC∥BD，转化为证明∠OAC＝∠OBD↓构造直角三角形，利用三角函数求∠OEF的度数↓利用三角形相似或三角函数求出AH的长度，再进行比较典例探究专题二┃实物情景中的数学解(1)证法一： AB...
