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利用导数证明不等式动向解读:函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题以“参数处理”为主要特征,以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最值”为结合点,往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识,需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.不等式的证明是高中的热点问题,不等式的证明方法有,作差法,作商法,数学归纳法,分子有理化,平方转化,利用基本不等式,本文介绍有关数列不等式的证明,用导数证明函数的单调性,给X赋值代入题型一:利用不等式背景知识:,例1求证:证明:在不等式中令,,可得个不等式,相加可以得证。2求证:2,N*nn,时,证明:1ln0nn,∴nnnn1ln03求证:证明1lnxx,令,则有,变形为,4记,证明:不等式,,,令用代替中的中的:可得令取得,令,则,因此.又1故题型二利用不等式:例:求证:令,当时,当时,,题型三利用不等式求证:证明:令,得,即所以上式中n=1,2,3,…,n,然后n个不等式相加得到求证:由得,即,令,,,,将上述各式相加得,题型四利用不等式求证:对任意正整数,2证明:令,则在上恒正,所以函数在上单调递增,∴时,恒有即,∴对任意正整数n,取证明不等式(2007山东理22)设函数,其中.(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;(Ⅱ)求函数的极值点;(Ⅲ)证明对任意的正整数,不等式都成立.解:(Ⅰ)由题意知,的定义域为,设,其图象的对称轴为,.当时,,即在上恒成立,当时,,当时,函数在定义域上单调递增.(Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当时,函数无极值点.②时,有两个相同的解,时,,时,,时,函数在上无极值点.3③当时,有两个不同解,,,时,,,即,.时,,随的变化情况如下表:极小值由此表可知:时,有惟一极小值点,当时,,,此时,,随的变化情况如下表:极大值极小值由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点;综上所述:时,有惟一最小值点;时,有一个极大值点和一个极小值点;时,无极值点.(Ⅲ)当时,函数,令函数,4则.当时,,所以函数在上单调递增,又.时,恒有,即恒成立.故当时,有.对任意正整数取,则有.所以结论成立.证明不等式;(2012辽宁理)12.若0,+x,则下列不等式恒成立的是A.21++xexxB.21111-+241+xxxC.21cos1-2xxD.21ln1+-8xxx【解析】验证A,当332=3>2.7=19.68>1+3+3=13xe时,,故排除A;验证B,当1=2x时,,16=311+2,而11111339152115361661-+===<=22441648484848,故排除B;验证C,令21=cos-1+,'=-sin+,''=1-cos2gxxxgxxxgxx,显然''>0gx恒成立所以当0,+x,''0=0gxg,所以0,+x,21=cos-1+2gxxx为增函数,所以0=0gxg,恒成立,故选C;验证D,令2-311=ln1+-+,'=-1+=8+144+1xxxhxxxxhxxx,令'<0hx,解得0<<3x,所以当0<<3x时,<0=0hxh,显然不恒成立,故选C.通过渐近线转化设函数(常数),在处取得极小值,(为自然对数的底数)(1)求在处的切线方程(2)对任意,求证5大家很容易得到,在处的切线方程为下面看第二问题的不等式证明,我用构造函数法证不出来,又试着分开两个函数出不行,用不等式放缩也不行,正当我一筹莫展时,忽然想到第一问题的切线联系起来,如果左边的函数的图像在切线的上方,右边函数的图像在切线的下方,这样利用不等式的传递性就可以证明了,心里非常高兴,马上付诸行动。令,,递增,,递增,,故.再令,,,令则,故,,,,,综上可知设函数,其中.(1)若,求在的最小值;(2)如果在定义域内既有极大值又有极小值,求实数的取值范围;(3)是否存在最小的正整数,使得当时,不等式恒成立.解析:(1)由题意知,的定义域为,时,由,得(舍去),当时,,当时,,所以当时,单调递减;当时,单调递增,所以;(2)由题意在有两个不等实根,即在有两个不等实根,6设,则,解之得;(3)对于函数,令函数,则,,所以函数在上单调递增,又时,恒有,即恒成立.取,则有恒成立.显然,存在最小的正整数N=1,使得当时,不等式恒成立.已知...

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