函数的极值一、学习目标理解并掌握函数极值的概念;会求某些函数的极值;会用极值知识解决一些实际问题.二、重点难点本节重点:可微函数的极值与最值.极值定义:设函数y=f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所有点,都有f(x)>f(x0),则称f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.判别方法:当函数y=f(x)在点x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x0)>0,那么f(x0)是极小值.本节难点:对可导函数,f′(x0)=0只是x0点为极值点的必要条件.例如,y=x3,在x=0时f′(0)=0,但x=0处非极值点;对某点不可导函数,该点也可能为极值点,例如:f(x)=|x|,x=0是极小值,但x=0时,函数不可导.三、典型例题1.怎样用一阶导数求函数的极值:例1求下列函数的极值:(1)y=x4-8x2+2(2)y=x2e-x【解】(1)y′=4x3-16x,令y′=0,解得x1=0,x2=2,x3=-2.当x变化时,y′,y的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,0)0(0,2)2(2,+∞)y′-0+0-0+y极小值-14极大值2极小值-14当x=0时,y有极大值,y极大值=2;当x=±2时,y有极小值,y极小值=-14.(2)y′=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2).令y′=0,解得x1=0,x2=2.当x变化时,y′,y的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,2)2(2,∞)y′-0+0-y极小值0极大值当x=0时,y有极小值,y极小值=0;用心爱心专心115号编辑当x=2时,y有极大值,y极大值=.【点评】上述二例给出求极值的方法:①求导数.②令导数为0,求导数为0的x的值.③观察导数为0的点在其左、右导数变化情况,——此步常用列表法.④判断导数为0点是否为极值点,极大还是极小值.2.应用二阶导数判断函数极值的方法例2求函数的极值:y=2ex+e-x【解一】y′=2ex-e-x令y′=02ex=ex2e2x=1e2x=x=-ln2在x=-ln2附近y′由负到正∴y有极小值,y极小=2【解二】y′=2ex-e-x令y′=0则x=-ln2y″=2ex+e-x由于:y″(-ln2)=2e+e=+=2>0.说明y′在x=-ln2附近是增函数,即由负到正,所以y有极小值2.【点评】解法二用了二阶导数判断极值的方法.某点一阶导数为0,二阶导数大于0,说明一阶导数为增函数,即由负变正,判断为极小值;反之,某点一阶导数为0,二阶导数小于0,说明一阶导数为单调减函数,即由正变负,判断此点为极大值点.用心爱心专心115号编辑