函数的极值一、学习目标理解并掌握函数极值的概念；会求某些函数的极值；会用极值知识解决一些实际问题．二、重点难点本节重点：可微函数的极值与最值．极值定义：设函数y＝f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），则称f（x0）是函数y＝f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0）；如果对x0附近的所有点，都有f（x）＞f（x0），则称f（x0）是函数y＝f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0）．极大值与极小值统称为极值．判别方法：当函数y＝f（x）在点x0处连续时，判别f（x0）是极大（小）值的方法是：如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f（x0）是极大值．如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x0)＞0，那么f（x0）是极小值．本节难点：对可导函数，f′(x0)＝0只是x0点为极值点的必要条件．例如，y＝x3，在x＝0时f′(0)＝0，但x＝0处非极值点；对某点不可导函数，该点也可能为极值点，例如：f（x）＝|x|，x＝0是极小值，但x＝0时，函数不可导．三、典型例题1．怎样用一阶导数求函数的极值：例1求下列函数的极值：（1）y＝x4－8x2＋2（2）y＝x2e－x【解】（1）y′＝4x3－16x，令y′＝0，解得x1＝0，x2＝2，x3＝－2．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x（－∞，－2）－2（－2，0）0（0，2）2（2，＋∞）y′－0＋0－0＋y极小值－14极大值2极小值－14当x＝0时，y有极大值，y极大值＝2；当x＝±2时，y有极小值，y极小值＝－14．（2）y′＝2xe－x－x2e－x＝e－x（2x－x2）．令y′＝0，解得x1＝0，x2＝2．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x（－∞，0）0（0，2）2（2，∞）y′－0＋0－y极小值0极大值当x＝0时，y有极小值，y极小值＝0
