数学学习中的学法指导【内容综述】本讲就数学学法中常用的几个策略作了介绍，第一就是要不断掌握有用的先进武器——数学公式、定理；第二，要加强对数学概念的学习理解，在一些利用概念分析，可能减少计算一的试题中，应尽量减少计长算量，提高解题效率；第三，提供了一个面对较难试题的思维策略：反客为主，欲擒故纵……第四，其它【要点讲解】§1.武器精,巧解题若能不断掌握一些有用的课外公式,无论是解高考试题,还是解数竞试题都是有用的，尤其是高考现今强调创新，出活题考能力；而高中数竞一试又往高考靠，并且数竞从来就是在出活题考能力（当然它要求的知识面更广，基础更坚深），二者关系极为密切，这一节，我们介绍两个课外的有用公式实理，供大家参考。1．等差数列中，①证明例1.设等差数列满足且Sn为其前n项之和，求Sn中最大者。（1995高中全国数竞赛题）分析：若等差数列中，满足则Sn最大。或当Sn=Sm时，取最大值解：由题设：得故由等差数列前n项和是二次函数，可见是最大和说明本题若用常规解法，就需由题设，求得再去解求得n=20.计算量较大。例2.等差数列，的前n项和分别为Sn与Tn，若（1995年全国高考试题）用心爱心专心1分析本题若按解答题做，推理、论证计算相当繁杂，但若利用公式①就非常简单解∴例3.设等差数列的前n项和为Sn,已知,求公差d的取值范围.解:即又 故2．三面角余弦公式在如图三面角O—ABC中。设面角∠AOB=Q,∠AOC=Q1，∠BOC=Q2,二面角A—OC—B大小为，则有公式，②称为三面角余弦公式或三射线定理。当时，就是主几课本中复习题的公式。它的证明可在如图的基础上，作CA、CB分别垂直OC、于C、连AB，分别在△AOB、△AOC、△BOC得用三角函数可分别将AB、BC、AC用Q、Q1、Q2及OC的关系表出，最后再在△ABC中利用余弦定理求得公式②本公式无论在高考试题还是竞赛试题,多有应用。例4.已知二面角M—AB—N是直二面角，P是棱上一点，PX、PY分别在平面M、N内，且。求大小?(1964,北京赛题)用心爱心专心2解:利用三面角余弦公式得∴例5.已知四面体S—ABC中，，，设以SC为棱的二面角为，求与、β关系。解：由三面角余弦公式及题设，得，，故有解之，得例6.已知正四棱锥P—ABCD的侧面与底面夹角为L，相邻两侧面的夹角为β,求证：（1981上海竞赛题）证：设PO是棱锥的高，O是底面ABCD的对角线交点作OE⊥AD，则PE⊥AD，从而∠PEO是侧面与底面所成角；作BF⊥PC，连DF，易证∠DFB即两侧面间所成二面角的平面角β.设侧棱长为a，底面边长为b。则侧高为，则由三面角余弦公式有用心爱心专心3===又由三面角P—BCD知∴例7.如图正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦是_____________。（1996年全国高考试题）解 AD，BF所成角，即BC与BF所成角，由三面角余弦公式，有用心爱心专心4说明：由上面几道在高中竞赛或全国高考试题解答中，显然课外的公式，担供了极其简捷的解法，若不用这二公式，尽管问题也能解决，但要繁杂得多这里我们才给了两个课外的有用公式，在本教程的其它章节，更介绍了许多有用的方法和公式定理，也希望同学们在今后的解题实践中，不断总结，发现更多更好的解题方法，策略和武器，为不好数学，争取得更大成绩而努力，§2大概念小计算要学好数学，一定要重视概念的学习例8.已知集合的值。（1987．全国赛题改编）分析：根据集合元素的互异性，由N知X，Y皆不为0，又由M=N，故知可见，从而xy=1，进而x、y可求解：由题设知x、y≠且xy=1， 且M=N，∴解方程组得x=y=-1，舍去x=y=1( 与元素互异矛盾)代入原式=-2+2-2+…-2=-2.说明：这时重在概念分析，计算量较小。也可发先就x、y是否为1讨论后得出原式=4002或；进而去求x、y的值，舍去4002-解，得出-2的正确结论。例9.过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，求的值（2000年全国高考）分析：本题若按解答题作，需对一般情况进行计算，比较繁杂，而若概念清楚，再结合抛物线道径长，可见令p=q即可迅速求解。解令p=q，则由抛物线，可见，根据通径长为，应选C。例10如图,OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相...
