2.3.2离散型随机变量的方差知识点方差、标准差的定义及方差的性质(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称D(X)＝□为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的□标准差．(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的□平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的□平均程度越小．知识点两点分布与二项分布的方差XX服从两点分布X～B(n，p)D(X)□p(1－p)(其中p为成功概率)□np(1－p)方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)，D(C)＝0(C是常数)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()(2)若a是常数，则D(a)＝0.()(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为________．(2)设随机变量ξ～B，则D(ξ)＝________.(3)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么D(Y)＝________D(X)．答案(1)0.5和0.25(2)(3)9解析(1)因为X服从两点分布，所以X的概率分布为X01P0.50.5所以E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝0.52×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25.(2)因为随机变量ξ～B，所以D(ξ)＝6××＝.(3)由于X是离散型随机变量，Y＝3X＋2呈线性关系，代入公式，则D(Y)＝32D(X)＝9D(X)．探究1方差及标准差的计算例1已知随机变量X的分布列为X010205060P(1)求X的方差及标准差；(2)设Y＝2X－E(X)，求D(Y)．[解](1)E(X)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，D(X)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384.∴＝8.(2) Y＝2X－E(X)，∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝4D(X)＝4×384＝1536.拓展提升求方差和标准差的关键是求分布列，只要有了分布列，就可以依据定义求数学期望，进而求出方差、标准差，同时还要注意随机变量aX＋b的方差可用D(aX＋b)＝a2D(X)求解．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P(1)求ξ的均值、方差和标准差；(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η)．解(1)均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝；标准差＝.(2)E(η)＝2E(ξ)＋3＝；D(η)＝4D(ξ)＝.探究2两点分布与二项分布的方差例2(1)篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差；(2)将一枚硬币连续抛掷5次，求正面向上的次数的方差；(3)老师要从10名同学中随机抽3名同学参加社会实践活动，其中男同学有6名，求抽到男同学人数的方差．[解](1)设一次罚球得分为X，X服从两点分布，即X01P0.30.7∴D(X)＝p(1－p)＝0.7×0.3＝0.21.(2)设正面向上的次数为Y，则Y～B，D(Y)＝np(1－p)＝5××＝1.25.(3)设抽到男同学的人数为ξ.ξ服从超几何分布，分布列为ξ0123P即ξ0123P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝0.3＋1＋0.5＝1.8，D(ξ)＝(0－1.8)2×＋(1－1.8)2×＋(2－1.8)2×＋(3－1.8)2×＝0.56.拓展提升解决此类问题的第一步是判断随机变量ξ服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．若ξ服从两点分布，则D(ξ)＝p(1－p)；若ξ服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)．(1)若随机变量X的分布列如下表所示X01P0.40.6则E(X)＝________，D(X)＝________；(2)若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，则p＝________.答案(1)0.60.24(2)或解析(1) E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D(X)＝0.6×(1－0.6)＝0.6×0.4＝0.24.(2) X～B(3，p)，∴D(X)＝3p(1－p)，由3p(1－p)＝，得p＝或p＝.探究3方差的实际应用例3有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．[解]在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D(X甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，D(X乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80.由上面数据，可知E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)
