2．3.1离散型随机变量的均值知识点离散型随机变量的均值或数学期望1．离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝□x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的□平均水平．2．均值的性质若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，(1)Y也是随机变量；(2)E(aX＋b)＝□aE(X)＋b.知识点两点分布、二项分布的均值(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝□p.(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝□np.要掌握离散型随机变量均值的几个常用结论：(1)E(C)＝C(C为常数)；(2)E(aX1＋bX2)＝aE(X1)＋bE(X2)；(3)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()(3)若随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝3，则E(4ξ－5)＝7.()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)若随机变量η的分布列为η012P0.20.3m则η的数学期望E(η)＝________.(2)设随机变量X～B(16，p)，且E(X)＝4，则p＝________.(3)设口袋中有黑球、白球共7个，从中有放回地依次任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________．答案(1)1.3(2)(3)3解析(1)由题意可知m＝0.5，故η的数学期望E(η)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.5＝1.3.(2)若随机变量X～B(16，p)，且E(X)＝4，则16p＝4，所以p＝.(3)设口袋中有白球n个，由题意知口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，取到白球的概率是，因为每一次取到白球的概率是一个定值，且每一次的结果只有取到白球和取不到白球两种结果，所以符合二项分布，所以2×＝，所以n＝3.探究1求离散型随机变量的均值例1袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球记2分，取到一只黑球记1分，试求得分ξ的数学期望．[解]取出4只球颜色分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，相应的概率为P(ξ＝5)＝＝，P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝7)＝＝，P(ξ＝8)＝＝.随机变量ξ的分布列为ξ5678P所以E(ξ)＝5×＋6×＋7×＋8×＝.拓展提升求随机变量的期望关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定ξ的可能取值；(2)计算出P(ξ＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(ξ)的计算公式计算E(ξ)．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.抽取次数X的分布列为X123PE(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5.金版教程|数学·选修2－3[A]第二章随机变量及其分布探究2均值性质的应用例2已知某一随机变量ξ的概率分布列如下，且E(ξ)＝6.3.ξ4a9P0.50.1b(1)求b；(2)求a；(3)若η＝2ξ－3，求E(η)．[解](1)由随机变量的分布列的性质，得0．5＋0.1＋b＝1.解得b＝0.4.(2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.解得a＝7.(3)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b得E(η)＝E(2ξ－3)＝2E(ξ)－3＝2×6.3－3＝9.6.拓展提升求均值的关键是求出随机变量的分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用求均值的公式求解．对于求aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出随机变量(aX＋b)的分布列，再用定义求解．已知随机变量ξ的分布列为ξ－101Pm若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝________.答案2解析由分布列的性质，得＋＋m＝1，即m＝，所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝，即－a＋3＝，得a＝2.探究3离散型随机变量均值的实际应用例3某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．[解](1) 每张奖券是否中奖是相互独立的，∴ξ～B.∴P(...
