高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质（第3课时）直线与平面、平面与平面垂直的性质讲义（含解析）新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学教案VIP免费

第3课时直线与平面、平面与平面垂直的性质[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P70～P72，回答下列问题．(1)若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？提示：这条直线垂直于平面的任意一条直线；这两条直线平行．(2)教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，在黑板上任意画一条直线与地面垂直吗？怎样画才能保证所画直线与地面垂直？提示：不一定，也可能平行，相交(不垂直)；只要保证所画的线与两面的交线垂直即可．2．归纳总结，核心必记(1)直线与平面垂直的性质定理①文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．②图形语言：③符号语言：⇒a∥b.④作用：(ⅰ)线面垂直⇒线线平行；(ⅱ)作平行线．(2)平面和平面垂直的性质定理①文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．②图形语言：③符号语言：⇒a⊥β.④作用：(ⅰ)面面垂直⇒线面垂直；(ⅱ)作面的垂线．[问题思考](1)同一个平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面．由线面垂直的性质定理可知该两条直线是平行的，故能确定一个平面．(2)如果α⊥β，那么平面α内的直线都和平面β垂直吗？提示：如果α⊥β，那么平面α内的直线不一定与平面β垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)直线与平面垂直的性质定理是什么？怎样应用？；(2)平面与平面垂直的性质定理是什么？怎样应用？.如图是日常生活中常见的旗杆，这排旗杆都与地面垂直．[思考1]两根旗杆所在直线是什么位置关系？提示：平行．[思考2]怎样理解直线与平面垂直的性质定理？名师指津：(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论．(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直)．(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．(4)定理的推证过程采用了反证法．[思考3]直线与平面垂直有哪些性质？名师指津：(1)⇒l⊥b；(2)⇒a∥b;(3)⇒b⊥α；(4)⇒a⊥β；(5)⇒α∥β.讲一讲1．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.[尝试解答] ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又 CD⊥平面ADD1A1.∴CD⊥AD1. A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又 MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．练一练1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l.[思考]怎样理解面面垂直的性质定理？名师指津：(1)定理成立的条件有三个：①两个平面互相垂直；②直线在其中一个平面内；③直线与两平面的交线垂直．(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直．(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直．讲一讲2．如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.[尝试解答]过点A作AE⊥PB，垂足为E，因为平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，因为BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC，因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC，因为PA∩AE＝A，所以BC⊥平面PAB.应用面面垂直性质定理要注意的问题应用面面垂直性质定理证明相关问题时，一般需要作辅助线，即过其中一个平面内一点作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．练一练2．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥...