3.2简单的三角恒等变换[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P139～P142的内容，回答下列问题．(1)α与是什么关系？提示：倍角关系．(2)如何用cosα表示sin2，cos2和tan2？提示：sin2＝，cos2＝，tan2＝.2．归纳总结，核心必记(1)半角公式(2)三角恒等变换的特点三角恒等变换常常寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式．[问题思考](1)能用不含根号的形式用sinα，cosα表示tan吗？提示：tan＝＝.(2)如何用tan表示sinα，cosα及tanα？提示：sinα＝2sin·cos＝＝.cosα＝cos2－sin2＝＝.tanα＝＝.[课前反思](1)半角公式的有理形式：；(2)半角公式的无理形式：.知识点1求值问题讲一讲1．已知sinα＝－，π<α<，求sin，cos，tan的值．[尝试解答] π<α<，sinα＝－，∴cosα＝－，且<<，∴sin＝＝，cos＝－＝－，tan＝＝－2.类题·通法解决给值求值问题的思路方法已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．练一练1．已知sin－cos＝－，450°<α<540°，求tan的值．解：由题意得2＝，即1－sinα＝，得sinα＝. 450°<α<540°，∴cosα＝－，∴tan＝＝＝2.知识点2三角函数式的化简讲一讲2．化简：(180°<α<360°)．[尝试解答]原式＝＝＝.又 180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos<0，∴原式＝＝cosα.类题·通法化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．练一练2．化简：(1)－；(2)－2cos(α＋β)．解：(1)原式＝－， <θ<2π，∴<<π，∴00.∴原式＝－－＝－2sin.(2) 2α＋β＝α＋(α＋β)，∴原式＝＝＝＝.知识点3三角恒等式的证明讲一讲3．求证：＝tanx.[尝试解答]法一：左边＝＝sinx＝＝tanx＝右边．法二：左边＝·＝·＝·＝·＝＝tanx＝右边．类题·通法三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．练一练3．求证：＝.证明：左边＝＝＝＝＝＝＝右边．∴原等式成立．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用．2．要掌握三角恒等变换的三个应用(1)求值问题，见讲1；(2)化简问题，见讲2；(3)三角恒等式的证明，见讲3.3．对半角公式的四点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)由于tan＝及tan＝不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于tan的题目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2＝，cos2＝求解．课下能力提升(二十五)[学业水平达标练]题组1求值问题1．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin＝()A.B.C．－D．－解析：选D ∈，∴sin＝－＝－.2．若f(x)＝2tanx－，则f的值是()A．－B．8C．4D．－4解析：选Bf(x)＝2tanx－＝2tanx＋＝2(tanx＋)．又tan＝＝，∴原式＝2＝8.3．已知cosθ＝－，且180°<θ<270°，求tan.解：法一： 180°<θ<270°，∴90°<<135°，∴tan<0，∴tan＝－＝－＝－2.法二： 180°<θ<270°，∴sinθ<0，∴sinθ＝－＝－＝－，∴tan＝＝＝－2.题组2三角函数式的化简4．化简的结果是()A．－cos1B．cos1C.cos1D．－cos1解析：...
