高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 二 绝对值不等式 1 绝对值三角不等式讲义（含解析）新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学教案VIP免费

1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．几何解释：用向量a，b分别替换a，b.①当a与b不共线时，有|a＋b|<|a|＋|b|，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a，b共线，当a与b同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当a与b反向时，|a＋b|<|a|＋|b|.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式．③定理1的推广：如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.当点B不在点A，C之间时：①点B在A或C上时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②点B不在A，C上时，|a－c|<|a－b|＋|b－c|.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．含绝对值不等式的判断与证明[例1]已知|A－a|<，|B－b|<，|C－c|<.求证：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|3，则<；④若AB≠0，则lg≥(lg|A|＋lg|B|)．其中正确的命题有()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：选A |a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； 1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； |y|>3，∴<.又 |x|<2，∴<，③正确；2＝(|A|2＋|B|2＋2|A||B|)≥(2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg≥lg|A||B|.∴lg≥(lg|A|＋lg|B|)，④正确．2．已知a，b∈R且a≠0，求证：≥－.证明：①若|a|>|b|，左边＝＝≥＝. ≤，≤，∴＋≤.∴左边≥＝右边．②若|a|<|b|，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若|a|＝|b|，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立.绝对值三角不等式的应用[例2](1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．(2)如果关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，求实数a的取值范围．[思路点拨]利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解](1)法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.法二：把函数看作分段函数．y＝|x－3|－|x＋1|＝∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.(2)只要a不大于|x－3|＋|x－4|的最小值，则|x－3|＋|x－4|＜a的解集为空集，而|x－3|＋|x－4|＝|x－3|＋|4－x|≥|x－3＋4－x|＝1，当且仅当(x－3)(4－x)≥0，即3≤x≤4时等号成立．∴当3≤x≤4时，|x－3|＋|x－4|取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析： |a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：514．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|的最小值为a，求a的值．解：因为|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解： a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.∴a<－3.即a的取值...