第1课时函数的奇偶性[目标]1.了解函数奇偶性的含义；2.掌握判断函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养；3.了解奇、偶函数的图象的对称性，培养直观想象能力．[重点]掌握判断函数奇偶性的方法．[难点]奇偶性的含义及判断.知识点一偶函数、奇函数的概念[填一填]设函数f(x)的定义域为D，1．偶函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数．2．奇函数：对任意x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．[答一答]1．奇偶性定义中的“任意”可以省略吗？提示：不能省略．如函数y＝x2，x∈[－2,3]，有f(－2)＝4＝f(2)，f(－1)＝f(1)，但不能因此就说函数y＝x2，x∈[－2，3]是偶函数，因为f(－3)是没有定义的．从这个意义上来说，任意两字实则强调的是函数的定义域一定要关于原点对称．这个条件是必不可少的．抛开了这个条件去讨论函数的奇偶性是毫无意义的．也就是说在讨论一个函数的奇偶性之前，要先探讨函数的定义域．2．从奇偶函数的定义来考虑，若对于奇(偶)函数定义域内的任意一个自变量x，它的相反数－x也在定义域内吗？由此得到什么结论？y＝x2，x∈[－1,1)是偶函数吗？提示：在函数的定义域内，奇(偶)函数的定义域是对称的．y＝x2，x∈[－1,1)不是偶函数，原因是f(－1)≠f(1)．(f(1)不存在)．3．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)等于什么？提示： f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，f(0)＝0.知识点二偶函数、奇函数的图象特征[填一填]1．偶函数的图象关于y轴对称．2．奇函数的图象关于原点对称．[答一答]4．一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数吗？函数图象关于原点对称呢？提示：若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数；图象关于原点对称，则这个函数是奇函数．5．如图是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象．提示：利用偶函数的图象关于y轴对称的特点，可作出函数y＝f(x)在y轴左侧部分的图象．如图所示．类型一判断函数的奇偶性[例1]判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝＋；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝|x＋a|－|x－a|(a∈R)；(4)f(x)＝.[分析]首先确定函数的定义域是否关于原点对称，然后化简解析式，验证f(x)与f(－x)的关系．[解](1)函数f(x)＝＋的定义域为{－1,1}，关于原点对称，此时f(x)＝0，所以函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．(2)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．①当a≠0时，f(－x)＝|－x＋a|－|－x－a|＝|x－a|－|x＋a|＝－(|x＋a|－|x－a|)＝－f(x)；②当a＝0时，f(x)＝|x＋a|－|x－a|＝|x|－|x|＝0.综上，当a≠0时，函数f(x)为奇函数；当a＝0时，函数f(x)既是奇函数又是偶函数．(4)由1－x2≥0，得－1≤x≤1.由|x＋2|－2≠0，得x≠0，且x≠－4.故函数f(x)的定义域是[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称．显然x∈[－1,0)∪(0,1]时，x＋2>0.则f(x)＝＝. f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数．1对复杂的函数解析式，要合理、恰当地变形，向有利于判断的方向进行，直到判断出其奇偶性为止.2当函数中含有待定系数时，要注意对其进行分类讨论.3因为函数的定义域是否关于原点对称是判断函数奇偶性的前提，所以判断函数的奇偶性时，应先判断函数的定义域是否关于原点对称.[变式训练1](1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(D)A．y＝B．y＝x＋C．y＝x2＋D．y＝x＋x2解析：A，C选项是偶函数，B选项是奇函数，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．∴选D.(2)判断函数f(x)＝的奇偶性．解：函数的定义域关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝－x[1－(－x)]＝－x(1＋x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)[1＋(－x)]＝－x(1－x)＝－f(x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．类型二函数奇偶性的图象特征[例2](1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,2)(2)设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是___...
