高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念讲义 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教案VIP免费

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．平均变化率函数f(x)从x1到x2的平均变化率＝□.若函数y＝f(x)在点x＝x0及其附近有定义，则函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率是＝□.2．瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值的改变量Δy＝□f(x0＋Δx)－f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数L，则常数L称为函数f(x)在x0的瞬时变化率，记作□lim＝L.3．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率是lim＝□lim，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或□y′|x＝x0.即f′(x0)＝□lim.简言之，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的□瞬时变化率．导数概念的理解(1)Δx→0是指Δx从0的左右两侧分别趋向于0，但永远不会为0.(2)若f′(x0)＝lim存在，则称f(x)在x＝x0处可导并且导数即为极限值．(3)令x＝x0＋Δx，得Δx＝x－x0，于是f′(x0)＝limx→x0与概念中的f′(x0)＝lim意义相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)＝2x＋1的函数值的增量与相应自变量的增量之比是________．(2)函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．(3)函数y＝f(x)＝在x＝－1处的导数可表示为________．答案(1)2(2)2(3)f′(－1)或y′|x＝－1探究\s\up7()求函数的平均变化率例1求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx1＝0.1时平均变化率的值．[解]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.[结论探究]在本例中，分别求函数在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．[解]由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率为k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5.所以k1