高中数学 第4章 概率与统计 4.2 随机变量 4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值教案 新人教B版选择性必修第二册-新人教B版高二选择性必修第二册数学教案VIP免费

4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值学习目标核心素养1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1．通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养．2．借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养.某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？1．均值或数学期望(1)定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示．Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝\o(∑为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)．(2)意义：它刻画了X的平均取值．(3)性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝ax＋b(a≠0)，则E(Y)＝aE(x)＋b.拓展：随机变量的均值公式与加权平均数的联系加权平均数，假设随机试验进行了n次，根据X的概率分布，在n次试验中，x1出现了p1n次，x2出现了p2n次，…，xn出现了pnn次，故在n次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此n次试验中，X出现的平均值等于＝E(X)．故E(X)＝p1x1＋p2x2＋…＋pnxn.2．两点分布、二项分布及超几何分布的均值(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝p.(2)若X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np；(3)若X服从参数为N，n，M的超几何分布，即X～H(N，n，M)，则E(X)＝.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．()(2)随机变量的均值反映样本的平均水平．()(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.()(4)随机变量X的均值E(X)＝.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．若随机变量X的分布列为X－101P则E(X)＝()A．0B．－1C．－D．－C[E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－＋＝－.故选C.]3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.35[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]4．(一题两空)若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________；若随机变量Y～H(10,3,5)，则E(Y)＝________.[E(X)＝np＝4×＝，E(Y)＝＝.]求离散型随机变量的数学期望【例1】(1)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为()A．3B．4C．5D．2(2)(一题两空)某运动员投篮命中率为p＝0.6，则①投篮1次时命中次数X的数学期望为________；②重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望为________．(1)A(2)①0.6②3[(1)设白球x个，则取出的2个球中所含白球个数为ξ～H(7,2，x),E(ξ)＝＝，∴x＝3.故选A.(2)①投篮1次，命中次数X的分布列如下表：X01P0.40.6则E(X)＝0.6.②由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.]常见的三种分布的均值1．设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.2．超几何分布E(X)＝，其中X～H(N，n，M)．熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．[跟进训练]1．(1)篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．(2)设离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C··(k＝0,1,2，…，300)，则E(X)＝________.(1)0.8(2)100[(1)因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.(2)由P(X＝k)＝C··，可知X～B，∴E(X)＝300×＝100.]离散型随机变量均值的性质【例2】已知随机变量X的分布列为X－2－1012Pm若Y＝－2X，则E(Y)＝________.[由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝，∴E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即E(Y)＝－2×＝.](变结论)本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．[解]E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15.若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数.一般思路是先求出EX，再利用公式EaX＋b＝aEX＋b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值...