第2课时全概率公式、贝叶斯公式学习目标核心素养1．理解并掌握全概率公式．(重点)2．了解贝叶斯公式．(难点)3．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．(易错点)1．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．2．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养.有三个罐子，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．问题：如何求取得红球的概率？1．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)；(2)定理1若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝\o(∑＝\o(∑.思考：全概率公式体现了哪种数学思想？[提示]全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．2．贝叶斯公式(1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有P(A|B)＝＝.(2)定理2若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足：①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝\f(P(Aj(P(B|Aj(.拓展：贝叶斯公式充分体现了P(A|B)，P(A)，P(B)，P(B|A)，P(B|A)，P(AB)之间的转化．即P(A|B)＝，P(AB)＝P(A|B)P(B)＝P(B|A)P(A)，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)之间的内在联系．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)．()(2)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)．()(3)P(A|B)＝＝.()[答案](1)√(2)×(3)×2．已知事件A，B，且P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|A)＝，则P(B)等于()A.B.C.D.C[P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝.故选C.]3．一袋中装有大小、形状均相同的5个球，其中2个黑球，3个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．[设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|A)＝.则P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝.]4．对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%.则已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约是________．0.97[设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”．P(A|B)＝0.98，P(A|B)＝0.55，P(B)＝0.95，P(B)＝0.05，所求的概率为P(B|A)＝≈0.97.]全概率公式及其应用【例1】甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解](1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3.∴这2个产品都是次品的概率为.(2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，P(B3)＝＝，P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，∴P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝.通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.[跟进训练]1．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？[解]记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球．P(B)＝＝，P(B)＝1－＝.(1)P(A|B)＝＝.(2) P(A|B)＝＝，∴P(A)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A|B)P(B)＋P(A|B)P(...
