3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟练利用两角差余弦公式进行求值计算．(重点、易混点)1.借助用向量法推导两角差的余弦公式，培养学生的逻辑推理素养.2.通过用两角差余弦公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和数据分析的核心素养.1．两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反思考：cos(α－β)＝cosα－cosβ成立吗？[提示]不一定成立，这是对公式的误解．2．两角差的余弦公式的推导在平面直角坐标系中作单位圆O，以Ox为始边作α，β，它们的终边与单位圆分别交A，B，则图1OA＝(cosα，sinα)，OB＝(cosβ，sinβ)，∴OA·OB＝cosαcosβ＋sinαsinβ，设OA与OB的夹角为θ，则由数量积定义知OA·OB＝|OA||OB|cosθ＝cosθ，∴cosθ＝cosαcosβ＋sinαsinβ. α＝2kπ＋β＋θ(如图1)或α＝2kπ＋β－θ(k∈Z)(如图2)，∴α－β＝2kπ±θ(k∈Z)，图2所以cos(α－β)＝cosθ，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C.D.C[原式＝cos(65°－35°)＝cos30°＝.]2．cos(－15°)的值是()A.B.C.D.D[cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝.]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝.[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.]4．已知α是锐角，sinα＝，则cos＝.[由条件可求的cosα＝，∴cos＝coscosα＋sinsinα＝×＋×＝.]给角求值问题【例1】(1)cos的值为()A.B.C.D．－(2)求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③cos15°＋sin15°.(1)D[cos＝cos＝－cos＝－cos＝－coscos－sinsin＝－×－×＝－.](2)[解]①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝.③cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[跟进训练]化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[解](1)原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]＝cos45°＝.(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.给值(式)求值问题[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．【例2】(1)已知sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)＝()A．－B．－C.D.(2)已知sin＝，α∈，求cosα的值．思路点拨：(1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角＋α与所求角α的关系即α＝－寻找解题思路．(1)D[因为sinα－sinβ＝1－，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝，①因为cosα－cosβ＝，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝，②由①②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋所...
