第2课时两角和与差的正切公式学习目标核心素养1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点)3.熟练两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)1.借助两角和与差的正切公式的推导过程，培养学生逻辑推理素养.2.通过利用两角和与差的正切公式进行化简、求值，提升学生的数学运算和逻辑推理素养.两角和与差的正切公式思考：两角和与差的正切公式对任意角α，β均成立吗？[提示]不是对任意角α，β均成立，必须使正切有意义，两角和的正切公式使用条件为α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)，两角差的正切公式使用条件为α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)．1．已知tanα＝4，tanβ＝3，则tan(α＋β)＝()A.B．－C.D．－B[tan(α＋β)＝＝＝－.]2．若tan＝3，则tanα的值为()A．－2B．－C.D．2B[由tan＝3，即＝3，可得：＝3，解得：tanα＝－.]3．已知tanα＝2，则tan＝.－3[tan＝＝＝－3.]4.＝.[原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝.]两角和与差的正切公式的应用【例1】(1)已知tanα＝，tan(α－β)＝－，则tan(β－2α)＝()A．－B．－C．－D.(2)如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝.思路点拨：(1)构造角2α－β＝α＋(α－β)．(2)先求∠CAD，∠BAD的正切值，再依据tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)求值．(1)B(2)[(1)由已知可知tan(－α)＝－，又β－2α＝(－α)－(α－β)，所以tan(β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)]＝＝＝－.(2) AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，∴tan∠BAD＝＝，tan∠CAD＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律：(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．2．利用公式T(α＋β)求角的步骤：(1)计算待求角的正切值．(2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．(3)根据角的范围及三角函数值确定角．[跟进训练]1．(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tanα＝.(2)已知角α，β均为锐角，且cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ＝.(1)(2)3[(1)因为tan＝，所以tanα＝tan＝＝＝.(2)因为cosα＝，α为锐角，所以sinα＝，tanα＝，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3.]两角和与差的正切公式的逆用【例2】(1)＝.(2)＝.思路点拨：注意特殊角的正切值和公式T(α±β)的结构，适当变形后逆用公式求值．(1)(2)－1[(1)原式＝＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝.(2)原式＝＝＝tan(30°－75°)＝－tan45°＝－1.][跟进训练]2．求下列各式的值：(1)；(2).[解](1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.(2)原式＝＝＝.两角和与差的正切公式的变形运用[探究问题]1．两角和与差的正切公式揭示了tanαtanβ与哪些式子的关系？提示：揭示了tanαtanβ与tanα＋tanβ，tanαtanβ与tanα－tanβ之间的关系．2．若tanα，tanβ是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两个根，则如何用a，b，c表示tan(α＋β)?提示：tan(α＋β)＝＝＝－.【例3】(1)tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝.(2)已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：(1)看到tan67°－tan22°与tan67°tan22°想到将tan(67°－22°)展开变形，寻找解题思路．(2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．(1)1[ tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，∴tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.](2)[解] tanA＋tanB＝tanAtanB－1，∴(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴＝－，∴tan(A＋B)＝－.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝. tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanC＝，∴tanB＋＋tanB＝，tanB＝，∴B＝，∴A＝，∴△ABC为顶角为的等腰三角形．1．将本例(1)中的角同时增加1°，结果又如何？[解] tan45...
