2.3.2离散型随机变量的方差学习目标核心素养1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)1．通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养．2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝\i\su(i＝1为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示]随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．3．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．1．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为()A．0.25；0.5B．0.5；0.75C．0.5；0.25D．1；0.75C[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．[ξ的标准差＝＝.]3．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P则ξ的均值为________，方差为________．－[均值E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差D(ξ)＝－1＋2×＋0＋2×＋1＋2×＝.]求随机变量的方差与标准差【例1】已知X的分布列如下：X－101Pa(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解](1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为X201P(2)法一：(直接法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.法二：(公式法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．[跟进训练]1．已知η的分布列为：η010205060P(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．[解](1) E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴＝8.(2) Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.两点分布与二项分布的方差【例2】设X的分布列为P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3X)＝()A．10B．30C．15D．5A[由P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X～B，所以D(X)＝5××＝，D(3X)＝9D(X)＝10.]1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二项分布的参数n，p的值．[解]由E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96及X～B(n，p)知即解得所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．[解]由例题可知X～B，所以E(X)＝5×＝.故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.求离散型随机变量的均值与方差的关注点1．写出离散型随机变量的分布列．2．正确应用均值与方差的公式进行计算．3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．均值、方差的实际应用[探究问题]1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X10123P0.70.20.0...
