2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值学习目标核心素养1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)1．通过离散型随机变量的均值的学习，体会数学抽象的素养．2．应用随机变量的均值解题提升数学运算的素养.1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.2．两点分布和二项分布的均值(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.思考：随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．1．若随机变量X的分布列为X－101p则E(X)＝()A．0B．－1C．－D．－C[E(X)＝ipi＝(－1)×＋0×＋1×＝－.]2．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.35[E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]3．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________．[E(X)＝np＝4×＝.]求离散型随机变量的均值【例1】某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．[解]X的取值分别为1,2,3,4.X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X＝1)＝0.6.X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.求离散型随机变量X的均值的步骤1．理解X的实际意义，并写出X的全部取值．2．求出X取每个值的概率．3．写出X的分布列(有时也可省略)．4．利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[跟进训练]1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．[解]X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.抽取次数X的分布列为X123PE(X)＝1×＋2×＋3×＝.离散型随机变量的均值公式及性质【例2】已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012Pm(1)求m的值；(2)求E(X)；(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．[解](1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝.(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.(3)法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．[跟进训练]2．已知随机变量X的分布列为X123P且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．－3[E(X)＝1×＋2×＋3×＝. Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3...
