第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率学习目标核心素养1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养．2.通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.看下面几个问题[师]大家知道两点确定一条直线，那么经过一点有多少条直线？[生]无数条．[师]那么再给出什么条件就可确定一条呢？[生]倾斜程度．(方向)[师]那么我们今天就将开始学习反应直线倾斜程度的两个量——倾斜角和斜率．1．倾斜角的相关概念(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠_APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.2．斜率的概念及斜率公式(1)定义：倾斜角α(α≠90°)的正切值．(2)记法：k＝tanα.(3)斜率与倾斜角的对应关系．图示倾斜角(范围)α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α＜180°斜率0(0，＋∞)不存在(－∞，0)(范围)(4)经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式：k＝.思考：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？[提示]不是．若直线没有斜率，则其倾斜角为90°.3．直线的方向向量坐标若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量P1P2的坐标为(x2－x1，y2－y1)．若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应．()(2)若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应．()(3)若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等．()(4)直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一对应关系．()[提示](1)√(2)×(3)×(4)×2．已知一条直线过点(3，－2)与点(－1，－2)，则这条直线的倾斜角是()A．0°B．45°C．60°D．90°A[ k＝＝0，∴θ＝0°.]3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A．B．C．1D．A[由题意可知，k＝tan30°＝.]4．已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则m的值是________．[由斜率公式可得＝1，解之得m＝.]直线的倾斜角【例1】求图中各直线的倾斜角．(1)(2)(3)[解](1)如图①，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.(2)如图②，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.(3)如图③，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.①②③求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[跟进训练]1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为()A．αB．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－αD[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.]直线的斜率【例2】(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于()A．1B．5C．－1D．－5(2)(教材P55练习T5改编)经过A(0，y)，B(－1,0)两点的直线的方向向量为(1,2)，则y＝________.(3)如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1、l2的斜率．[思路探究](1)利用公式k＝(x1≠x2)＝tanα；(2)利用方向向量的共线求解；(3)利用公式k＝tanα(α≠90°)．(1)D(2)2[(1) 过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，∴＝tan135°＝－1，解得y＝－5.(2)由条件可知，直线的方向向量为(－1－0,0－y)，即(－1，－y)．又(1,2)是直线的另一方向向量，则＝，解得y＝2.](3)[解]直...
