第一课圆锥曲线与方程[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)已知P为抛物线y＝x2上的动点，点P在x轴上的射影为Q，A，则|PA|＋|PQ|的最小值是()A．B．C．D．10(2)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．(1)C(2)3[(1)抛物线的准线方程为y＝－.设抛物线的焦点为F，则F.根据抛物线的定义可得|PQ|＝|PF|－，所以|PA|＋|PQ|＝|PF|＋|PA|－.所以|PA|＋|PQ|的最小值为|FA|－＝.(2)如图，设椭圆的右焦点为E，连接AE，BE.由椭圆的定义得，△FAB的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AB|＋(2a－|AE|)＋(2a－|BE|)＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|. |AE|＋|BE|≥|AB|，∴|AB|－|AE|－|BE|≤0，∴|AB|＋|AF|＋|BF|＝4a＋|AB|－|AE|－|BE|≤4a.当直线AB过点E时取等号，此时直线x＝m＝c＝1，把x＝1代入椭圆＋＝1得y＝±，∴|AB|＝3.∴当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是×3×|EF|＝×3×2＝3.]“回归定义”解题的三点应用应用一：在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；应用二：涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；应用三：在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决．提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件．[跟进训练]1．(1)已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．以上都不对(2)若双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，|F1F2|＝10，P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，PF1⊥PF2，求此双曲线的方程．(1)C[(1)把轨迹方程5＝|3x＋4y－12|写成＝.∴动点M到原点的距离与它到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．](2)[解] |F1F2|＝10，∴2c＝10，c＝5.又 |PF1|－|PF2|＝2a，且|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在Rt△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，∴4a2＋16a2＝100.∴a2＝5.则b2＝c2－a2＝20.故所求的双曲线方程为－＝1.圆锥曲线的几何性质【例2】(1)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为()A．x±y＝0B．x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F.设线段AB的中点为M，若2MA·MF＋BF2≥0，则该椭圆的离心率的取值范围为()A．(0，－1]B．C．D．[0，－1](1)A(2)A[(1)椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝·＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.(2)因为A(－a,0)，B(0，b)，M，F(c,0)，所以MA＝，MF＝，BF＝(c，－b)，又2MA·MF＋BF2≥0，所以2a2－2ac－c2≥0，即e2＋2e－2≤0，结合0b>0)与抛物线y2＝2px(p>0)有相同的焦点F，P，Q是椭圆与抛物线的交点，若PQ经过焦点F，则椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为________．－1[因为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F为，设椭圆另一焦点为E.当x＝时代入抛物线方程得y＝±p，又因为PQ经过焦点F，所以P且PF⊥OF.所以|PE|＝＝p，|PF|＝p，|EF|＝p.故2a＝p＋p,2c＝p，e＝＝－1.]直线与圆锥曲线的综合问题[探究问题]1．若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？提示：两条直线的斜率互为相反数．2．直线系kx－y＋k－1＝0有何特点(k∈R)?提示：过定点(－1，－1)．【例3...
