直线的斜率与倾斜角1.开篇语(1)活动设置①如何在直角坐标系内画出我们学校从校门口到食堂的路线?图1②线段AB的中垂线上的点M在运动的过程中什么量保持不变?【设计意图】通过对如何确定图2和图3中的几何图形的方法探讨,使学生明确,在平面直角坐标系中,如果给定了点的坐标,多边形的形状和大小就唯一确定.就是说,如果有了点坐标,可以通过坐标的运算研究图形的几何性质;如果能找到动点在运动过程中规律,也即一个不变的等量关系式,就能寻找到用以表示曲线的代数式,然后我们就可以通过这个代数表达式研究图形的性质.通过活动,让学生初步体会坐标法思想.(2)提升小结引导性语言:这种以坐标系为桥梁,把几何问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形性质的方法,叫坐标法.用坐标法研究几何的学科称为解析几何,它是17世纪法国数学家笛卡儿和费马创立的.解析几何的创立是数学发展史上的一个里程碑,数学从此由常量数学进入变量数学时期.课后请同学们阅读课本P111《笛卡儿与解析几何》,进一步了解解析几何.2.课题引入引导性语言:今天我们先从直线开始研究.根据坐标法思想,为了确定表示直线的代数表达式,先必须探索坐标系下直线的几何特征,即确定直线位置的几何要素,然后用代数的方法把几何要素表示出来.【设计意图】使学生明确本课学习的内容.3.探究新知(1)倾斜角概念问题1:如图4,在平面直角坐标系内,你认为直线l的位置由哪些条件确定?【设计意图】引导学生复习学过的相关知识,寻找新内容的生长点.预设的回答:两点确定一条直线.师生活动:引导学生发现:两点确定一条直线,而这两点确定的其实是直线上的一点及其方向,明确过一点不能确定一条直线(如图5).问题2:在直角坐标系中,任何一条直线都有一个相对倾斜度,可以用一个什么几何量来表示这个倾斜程度呢?【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素,由此引出倾斜角的概念.用心爱心专心1师生活动:引导学生把重点放在“如何描述直线倾斜程度”的问题上.启发学生可以用角来区别直线的位置.问题3:依倾斜角的定义,倾斜角的范围是什么?【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.问题4:任何一条直线都有倾斜角吗?不同的直线其倾斜角一定不相同吗?你认为确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么?【设计意图】使学生理解确定一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,两者缺一不可.(2)斜率概念引导性语言:到现在为止,我们寻找到确定直线的几何要素是两点或一点一倾斜角,由这些几何要素还是不能确定一个等量关系,找到直线的代数表示,所以我们继续探索直线上的点在变的过程中有什么量是不变的.问题5:确定了点P1和角α后,P2点位置的改变不会影响直线的位置,也即角α的大小不会改变,这种变化规律类似我们已学过的什么内容?【设计意图】基于学生的客观现实,结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法.预设的回答:相似三角形.师生活动:引导学生回忆起坡度问题,如图6、7、8所示,知道坡度(比)=.然后通过类比,把坡度这个同样用来刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来,引导学生发现如果使用“倾斜角”的概念,“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”,由此引出斜率概念.问题6:是否每条直线都有斜率?倾斜角不同,斜率是否相同?可以用斜率表示直线的倾斜程度吗?【设计意图】沟通数形关系,加深概念理解.明确斜率和倾斜角之间的关系,从而明确斜率是直线的倾斜程度的代数表示.(3)斜率公式引导性语言:有了斜率的概念,我们得到等式是k=tanα,这还不能体现是直线上的点所满足的等量关系,但我们可以尝试探究tanα的值与直线上的点坐标之间联系.问题7:两点确定一条直线,就是说,任给直线上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2),那么这条直线唯一确定(如图9、10所示),进而它的倾斜角与斜率也就确定了,这说明直线的斜率与这两点的坐标有内在联系.那么这种联系是什么呢?【设计意图】让学生自己探索发现直线的斜率的坐标表示公式.师生活动:教师给出直线上两点的坐标,可以请两位同学到黑板上板演,...