三角函数的性质教学目标：理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用教学过程：Ⅰ.课题导入上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.(1)定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.其中正弦函数y=sinx，x∈R①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.而余弦函数y＝cosx，x∈R①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.(3)周期性由xkxxkxcos)2cos(sin)2sin((k∈Z)知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.(5)单调性从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：用心爱心专心1当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.结合上述周期性可知：正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R.解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.［例2］求下列函数的定义域：(1)y＝1＋(2)y＝解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1即x≠＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝(2)由cosx≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)［例3］求下列函数的单调递增区间：①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)解：①设u＝2x＋，则y＝cosu当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大又 u＝2x＋随x∈R增大而增大∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：［kπ－π，kπ－］(k∈Z)②设u＝－，则y＝3sinu当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，又 u＝－随x∈R增大在减小∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大∴y＝3sin(－)的单调递增区间为［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)Ⅲ.课堂练习课本P331～7Ⅳ.课时小结用心爱心专心2通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.Ⅴ.课后作业课本P46习题2、3、4课后练习：1．给出下列命题：①y＝sinx在第一象限是增函数；②α是锐角，则y...
