圆锥曲线的综合题型一、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：(或)．若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有：Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．二、中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。三、弦长公式：若点在直线上，则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，=或者。四、两条直线垂直：则两条直线垂直，则直线所在的向量五、韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。六、对称式概念：在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy,，.都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.性质：两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式例如： x+y,xy都是对称式，∴x+y＋xy，（x+y）xy，，等也都是对称式.在解题中构造对称式，然后由韦达定理解得，可以使得解题简便。圆锥曲线和直线1、已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明．解：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为，．由题意知解得，．故椭圆的方程为，离心率为．……6分（Ⅱ）以为直径的圆与直线相切．证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为．由得．设点的坐标为，则．所以，．因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.2221223,22,.abaabcOFEPDBAyx直线轴，此时以为直径的圆与直线相切．当时，则直线的斜率.所以直线的方程为．点到直线的距离．又因为，所以．故以为直径的圆与直线相切．综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切分析：当直线和圆锥曲线的两个交点中的一个已知坐标时，可直接把直线设为点斜式，并用k表示出另一个交点的坐标。2、已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．解：（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以，又椭圆的离心率为，即，所以，所以，.所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）方法一：不妨设的方程，则的方程为.由得，设，，因为，所以，同理可得，所以，，，设，则，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.方法二：不妨设直线的方程.由消去得，设，，则有，.①因为以为直径的圆过点，所以.由，得.将代入上式，得.将①代入上式，解得或（舍）.所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以.设，则.所以当时，取得最大值.分析：根据圆的性质，，且A点已知坐标，所以可利用一个参数k，设出直线AC、BC的方程，然后利用两直角边长度表示三角形面积。圆锥曲线和平行四边形1、已知椭圆经过点其离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.解：（Ⅰ）由已知可得，所以又点在椭圆上，所以由①②解之，得.故椭圆的方程为.(Ⅱ)由消化简整理得：，③设点的坐标分别为，则.由于点在椭圆上，所以.从而，化简得，经检验满足③式.又因为，得，有，故.即所求的取值范围是.(Ⅱ)另解：设点的坐标分别为，由在椭圆上，可得①—②整理得由已知可得，所以由已知当,即⑥把④⑤⑥代入③整理得与联立消整理得由得，所以因为，得，有，故.所求的取值范围是.分析：利用平行四边形的性质，对角线互相平分，表示出所求线段长度，找到所有线段长度和k的关系，由k的范围确定所有的范围。2、在平面直角坐标系xOy中，为坐标原点，动点与两个定点，的距离之比为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）若直线：与曲线交于，两点，在曲线上是否存在一点，使得，若存在，求出此时直线...
