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圆锥曲线综合整理VIP免费

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圆锥曲线的综合题型一、直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时,通常是将直线方程与曲线方程联立,消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程:(或).若a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ,有:Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交;Δ=0⇔直线与圆锥曲线相切;Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离.若a=0,则直线与圆锥曲线相交,且有一个交点.二、中点坐标公式:,其中是点的中点坐标。三、弦长公式:若点在直线上,则,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,=或者。四、两条直线垂直:则两条直线垂直,则直线所在的向量五、韦达定理:若一元二次方程有两个不同的根,则。六、对称式概念:在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中,如果变量x,y,z任意交换两个后,代数式的值不变,则称这个代数式为绝对对称式,简称对称式.例如:代数式x+y,xy,x3+y3+z3-3xyz,x5+y5+xy,,.都是对称式.其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.性质:两个对称式(轮换式)的和,差,积,商(除式不为零),仍然是对称式例如: x+y,xy都是对称式,∴x+y+xy,(x+y)xy,,等也都是对称式.在解题中构造对称式,然后由韦达定理解得,可以使得解题简便。圆锥曲线和直线1、已知,为椭圆的左、右顶点,为其右焦点,是椭圆上异于,的动点,且面积的最大值为.(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;(Ⅱ)直线与椭圆在点处的切线交于点,当直线绕点转动时,试判断以为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.解:(Ⅰ)由题意可设椭圆的方程为,.由题意知解得,.故椭圆的方程为,离心率为.……6分(Ⅱ)以为直径的圆与直线相切.证明如下:由题意可设直线的方程为.则点坐标为,中点的坐标为.由得.设点的坐标为,则.所以,.因为点坐标为,当时,点的坐标为,点的坐标为.2221223,22,.abaabcOFEPDBAyx直线轴,此时以为直径的圆与直线相切.当时,则直线的斜率.所以直线的方程为.点到直线的距离.又因为,所以.故以为直径的圆与直线相切.综上得,当直线绕点转动时,以为直径的圆与直线相切分析:当直线和圆锥曲线的两个交点中的一个已知坐标时,可直接把直线设为点斜式,并用k表示出另一个交点的坐标。2、已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,所以,又椭圆的离心率为,即,所以,所以,.所以,椭圆的方程为.(Ⅱ)方法一:不妨设的方程,则的方程为.由得,设,,因为,所以,同理可得,所以,,,设,则,当且仅当时取等号,所以面积的最大值为.方法二:不妨设直线的方程.由消去得,设,,则有,.①因为以为直径的圆过点,所以.由,得.将代入上式,得.将①代入上式,解得或(舍).所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),所以.设,则.所以当时,取得最大值.分析:根据圆的性质,,且A点已知坐标,所以可利用一个参数k,设出直线AC、BC的方程,然后利用两直角边长度表示三角形面积。圆锥曲线和平行四边形1、已知椭圆经过点其离心率为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点.求的取值范围.解:(Ⅰ)由已知可得,所以又点在椭圆上,所以由①②解之,得.故椭圆的方程为.(Ⅱ)由消化简整理得:,③设点的坐标分别为,则.由于点在椭圆上,所以.从而,化简得,经检验满足③式.又因为,得,有,故.即所求的取值范围是.(Ⅱ)另解:设点的坐标分别为,由在椭圆上,可得①—②整理得由已知可得,所以由已知当,即⑥把④⑤⑥代入③整理得与联立消整理得由得,所以因为,得,有,故.所求的取值范围是.分析:利用平行四边形的性质,对角线互相平分,表示出所求线段长度,找到所有线段长度和k的关系,由k的范围确定所有的范围。2、在平面直角坐标系xOy中,为坐标原点,动点与两个定点,的距离之比为.(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;(Ⅱ)若直线:与曲线交于,两点,在曲线上是否存在一点,使得,若存在,求出此时直线...

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