多重积分的变量替换pptVIP专享VIP免费

1积分学多重积分的变量替换2讨论的缘由•单积分或一重积分的变量替换(也叫换元)的根据是微积分基本定理,其在计算和证明中的作用是巨大的.在证明了Fubini定理之后,它在重积分的讨论中也获得应用.但这还是不够的！•多重积分的一般变量替换是一个十分重要、有趣题目3基本思路•什么样的Rn到自身的变换是保集合的可测性的?基本例子:正则变换•正则变换如何改变可测集的测度?线性变换：讨论特征函数正则变换：讨论特征函数•非负可测函数和有积分函数的积分变换公式4复习Rn上正则变换•定义:设Rn是非空开集,TRn满足下列条件:T在上是单射；T在上有一阶连续导数(即是C1的);DT=T在上处处可逆(即J(T)=det(T)恒不为零)则称T为上的正则变换.•结论:T()开集、T-1:T()也是正则变换、且11)())((,xTxTTx5记号复习：导数矩阵•导数矩阵(也叫Jacobi矩阵):)()()()()()()()()()()(212221212111xxTxxTxxTxxTxxTxxTxxTxxTxxTxTxDTnnnnnn6记号复习：差分的表示•设x,B(x,r)(r>0),yB(x,r).TRn在x点可微,则•其中T(y),T(x),y和x都是n维列向量,|y-x|是n维欧氏范数(也叫长度或距离))())(()()(xyxyoxyxTxTyTniiixyxy127记号复习：差分矩阵表示•上页的式子的矩阵形式：)(11111111)()()()(xyxyoxyxynnnnnnnnxTxTxTxTxTyTxTyT8记号复习：线性变换•设L:RnRn为线性变换,在取定基(通常取标准基)后,L可等同为一个n阶方阵(也记为L).•线性变换是可微变换;如果还是非奇异(也叫非退化的),就是正则变换•L(x)=Lx;L(x)=L;J(L)=det(L)•线性变换的范数:||L||=max{|Lx|:|x|=1}•导数的范数:||T||E=sup{||T(x)||:xE}9正则变换是可测变换•可测变换:把可测集映射成可测集的变换叫做可测变换•正则变换是可测变换:由正则变换把开集映射成开集,再由正则变换是单射,因此在正则变换下,交的像等于像的交.由任一个可测集包含在可数多个开集的交中,并且两者的差的测度为零.因此只要能证明零测集的像还是零测集就行了•步骤:(1)在一个闭方块中的零测集的像是零测集;(2)一般的零测集的像是零测集10闭方块中零测集的像•设Rn中的开集,T为上的C1变换.闭方块Q,EQ为零测集,即|E|=0,则|T(E)|=0.•证明:只要证明,|T(E)|<就行了.记=||T||Q,由微分中值不等式任取,由|E|=0,存在可数多开方块Ck,k=1,2,…y-x)()(,,yTxTQyx1,11nkkkknCCE11闭方块中零测集的像(续)不妨设,否则用CKQ替代CK.取为Ck的中心,记Ck的边长为,我们有因此所以QCkkkCa)(2,)()(kkkklnaxaTxTCxklknnknknklnkCnlnaTQaTQCTk)()(,11)(kknkkCnCTET12零测集的像是零测集•设Rn中的开集,T为上的C1变换.E为零测集,即|E|=0,则|T(E)|=0.•证明:可以表示成可数多个闭方块的并以及上面的结论，就可以得到所要的结论.#13可测集的像是可测集•设Rn中的开集,T为上的正则变换.E,为可测集,则T(E)也是可测集.•证明:由E可测,则存在可数多个开集Gk和零测集Z,有注意T(Gk)是开集且就得到结论.#ZGEkk\1ZGTETkkT\114问题二•如果仅要求T是C1的,T还能把可测集映成可测集吗？•其他类型的可测变换.15正则变换如何改变测度•基本结果：–测度–积分•如何证明：–线性变换:此时J(T)是常数–正则变换ETJET)()(EETTJTff)()(16线性变换测度公式•设L是Rn上的线性变换,ERn可测.则L(E)可测且|L(E)|=|det(L)||E|.•证明步骤：只需要讨论L为可逆的情形–对方块结论成立(利用线性变换的初等分解)，学生自己写清楚–对开集结论成立(由第一步...