•函数极值的定义与性质•函数最值的定义与性质•单调性与极值最值的关系及应用CHAPTER函数单调性的定义函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增，则表示函数值随着自变量的增加而增加；如果函数在某个区间内单调递减，则表示函数值随着自变量的增加而减小。函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。函数单调性的性质函数单调性的性质包括传递性、可加性和可乘性。传递性是指如果函数在区间1上单调递增，在区间2上单调递增，且区间1包含在区间2中，则函数在整个区间上单调递增；可加性和可乘性是指函数的单调性与函数的加减乘除运算无关。函数的单调性还与函数的极值和最值有关。如果函数在某个区间内单调递增，则该函数在该区间内无极小值；如果函数在某个区间内单调递减，则该函数在该区间内无极大值。单调性在函数图像上的表现单调性在函数图像上的表现可以通过观察图像的斜率来确定。如果图像在某个区间内向上倾斜，则表示函数在该区间内单调递增；如果图像在某个区间内向下倾斜，则表示函数在该区间内单调递减。单调性还可以通过观察函数的切线来确定。如果切线在某个点上的斜率大于0，则表示函数在该点附近单调递增；如果切线在某个点上的斜率小于0，则表示函数在该点附近单调递减。CHAPTER函数极值的定义010203极值点极大值极小值函数在某点的值大于或小于其邻近点的值，则称该点为极值点。函数在某点的左侧单调递增，右侧单调递减，则称该点为极大值点。函数在某点的左侧单调递减，右侧单调递增，则称该点为极小值点。函数极值的性质唯一性可导性局部性一个函数在其定义域内最多只有一个极大值和一个极小值。函数在极值点处的一阶导极值只是相对于其邻近点而言的，不影响函数在其他点的取值。数为零，且二阶导数不为零。极值在函数图像上的表现峰状水平切线极大值在函数图像上表现为一个向下的峰状，极小值表现为向上的峰状。在极值点处，函数的二阶导数不为零，因此函数图像在该点处具有水平切线。拐点极值点在函数图像上表现为一阶导数为零的点，即拐点的位置。CHAPTER函数最值的定义单调性函数在某区间内单调递增或单调递减的性质。函数最值函数在某区间内的最大值和最小值。极值函数在某点处取得局部最大值或局部最小值的点。函数最值的性质最值的唯一性在闭区间上连续的函数一定存在最大值和最小值，且最多各有一个。单调性与最值的关系单调递增的函数在其定义域内没有最大值，单调递减的函数在其定义域内没有最小值。极值的必要条件可导函数在某点的导数为零是该点为极值的必要条件，但不是充分条件。最值在函数图像上的表现最大值和最小值极值单调性函数图像上表现为峰顶和谷底。函数图像上表现为拐点或鞍点。函数图像上表现为上升或下降的趋势。CHAPTER单调性与极值的关系极值点是函数单调性变化的分界点010203在函数图像上，极值点是函数单调性发生变化的点，即函数值从递增变为递减或从递减变为递增的点。单调性与极值点的关系单调递增的函数在其定义域内存在极大值点，单调递减的函数在其定义域内存在极小值点。极值点与导数的关系极值点处函数的导数为零或不存在，即函数的一阶导数在极值点处为零或不可导。单调性与最值的关系最值点的位置函数的最大值和最小值可能出现在函数的端点、极值点或连续但不可导的点上。单调性与最值的性质如果函数在某区间内单调递增（或递减），则该区间内的最大值（或最小值）一定出现在区间的端点上。最值与导数的关系最值点处函数的导数可能为零、不存在或不可导。单调性、极值与最值在实际问题中的应用经济问题1在经济学中，函数的单调性和极值可以用来分析商品价格、供需关系等经济现象，预测市场变化趋势。物理问题在物理学中，函数的单调性和极值可以用来描述物理量的变化规律，如速度、加速度、力等。23工程问题在工程设计中，函数的单调性和极值可以用来优化设计方案，提高工程性能和稳定性。
