数列的综合问题【2019年高考考纲解读】1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．【重点、难点剖析】一、利用Sn，an的关系式求an1．数列{an}中，an与Sn的关系an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋⋯＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·⋯·f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．二、数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．三、数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．【高考题型示例】题型一、利用Sn，an的关系式求an例1、已知等差数列{an}中，a2＝2，a3＋a5＝8，数列{bn}中，b1＝2，其前n项和Sn满足：bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1) a2＝2，a3＋a5＝8，∴2＋d＋2＋3d＝8，∴d＝1，∴an＝n(n∈N*)． bn＋1＝Sn＋2(n∈N*)，①∴bn＝Sn－1＋2(n∈N*，n≥2)．②由①－②，得bn＋1－bn＝Sn－Sn－1＝bn(n∈N*，n≥2)，∴bn＋1＝2bn(n∈N*，n≥2)． b1＝2，b2＝2b1，∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn＝2n(n∈N*)．【感悟提升】给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn满足：a1an＝S1＋Sn.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若an>0，数列log2an32的前n项和为Tn，试问当n为何值时，Tn最小？并求出最小值．解(1)由已知a1an＝S1＋Sn，①可得当n＝1时，a21＝a1＋a1，解得a1＝0或a1＝2，当n≥2时，由已知可得a1an－1＝S1＋Sn－1，②①－②得a1()an－an－1＝an.若a1＝0，则an＝0，此时数列{an}的通项公式为an＝0.若a1＝2，则2()an－an－1＝an，化简得an＝2an－1，即此时数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，故an＝2n(n∈N*)．综上所述，数列{an}的通项公式为an＝0或an＝2n.(2)因为an>0，故an＝2n.设bn＝log2an32，则bn＝n－5，显然{bn}是等差数列，由n－5≥0，解得n≥5，所以当n＝4或n＝5时，Tn最小，最小值为T4＝T5＝5()－4＋02＝－10.题型二数列与函数、不等式的综合问题例2、已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x1＋λx1＋x.(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；(2)设数列{an}的通项an＝1＋12＋13＋⋯＋1n，证明：a2n－an＋14n>ln2.③若λ≥12，则当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x≥0时，f(x)≤f(0)＝0，符合题意．综上，λ≥12.∴实数λ的最小值为12.(2)证明由于a2n－an＋14n＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋⋯＋12n－1＋12n＋14n，若λ＝12，由(1)知，f(x)＝ln(1＋x)－x2＋x2＋2x，且当x>0时，f(x)<0，即x2＋x2＋2x>ln(1＋x)，令x＝1n，则2n＋12nn＋>lnn＋1n，∴12n＋1n＋>lnn＋1n，1n＋＋1n＋>lnn＋2n＋1，1n＋＋1n＋>lnn＋3n＋2，⋯，1n－＋14n>ln2n2n－1.以上各式两边分别相加可得12n＋1n＋＋1n＋＋1n＋＋1n＋＋1n＋＋⋯＋1n－＋14n>lnn＋1n＋lnn＋2n＋1＋lnn＋3n＋2＋⋯＋ln2n2n－1，即1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋⋯＋12n－1＋12n＋14n>lnn...
