3例谈用减元法证明一类双零点不等式VIP专享VIP免费

例谈用减元法证明一类双零点不等式我们知道，若函数fx在0xx时取到极值，则称0x为函数fx的极值点.比如二次函数2()(0)fxaxbxca的极值点为02bxa，作直线yk与曲线()yfx交于两点12(,),(,)AxkBxk，可得1202xxx(如图1所示).图1但对于其他的曲线()yfx，它可能也有唯一的极值点(设为0x)，作直线yk与曲线()yfx交于两点12(,),(,)AxkBxk，但不一定有1202xxx成立(如图2,3所示).图2图3但在图2，图3中如何证明相应的不等式1202xxx,1202xxx成立呢？本文将用减元法谈谈其证法.题1(2010年高考天津卷理科第21题)已知函数()e()xfxxxR.如果12xx，且若12()()fxfx，求证：122xx.分析由题设可知，1x,2x是无法直接求出的，但我们可用减元法，将双元不等式转化为单元不等式，充分利用函数的单调性来给出其证明.欲证的结论12122xxxx2-，直接比较1x与22x的大小不方便，但可先比较1()fx与2(2)fx的大小.又因为12()()fxfx，所以只需比较2()fx与2(2)fx的大小关系，再构造辅助函数()()(2)Fxfxfx，结合函数()Fx的单调性便可完成本题的证明.证法1可得()(1)exfxx，进而可得()fx在(,),(,)11上分别是增函数、减函数，在1x处取得极大值1(1)ef.由此可画出曲线()yfx如图4所示.图4由12xx知，可不妨设12xx，再由12()()fxfx及图4可得1201xx，所以221x.欲证122xx即证122xx.因为函数()fx在(,)1上是增函数，所以即证12()(2)fxfx.又12()()fxfx，所以即证22222()(2),()(2)0(1)fxfxfxfxx.设()()(2)(1)Fxfxfxx，可得2()(1)(ee)0(1)xxFxxx.所以函数()Fx是增函数，得()(1)0(1)FxFx.所以222()(2)(1)fxfxx，得122xx.证法2由12xx知，可不妨设12xx.再由12()()fxfx，可得10x，且2121exxxx.设21(0)txxt，由212121(0)exxtxxtxx，可解得12e1e1tttxtxt.所以欲证122xx，即证22,(2)(e1)20(0)e1ttttttt.设()(2)(e1)2(0)tgtttt，得()(1)e1,(())e0(0)ttgttgttt.所以()gt是增函数，得()(0)0(0)gtgt；所以()gt是增函数，得()(0)0(0)gtgt，即122xx.证法3由12xx知，可不妨设12xx.再由12()()fxfx，可得10x，且2121exxxx(进而还可得120xx).设21(1)xttx，由212121(1)exxxttxxx，可解得12ln1ln1txtttxt.所以欲证122xx，即证ln,ln()1422111tttttt.设()ln()411htttt，得()()()()221011thtttt，所以()ht是增函数，得()()()121htht，即122xx.题2(2013年高考湖南卷文科第21(2)题)已知函数21()e1xxfxx.证明：当1212()()()fxfxxx时，求证：120xx.证明可得222e[(1)2]()(1)xxfxxx，所以函数()fx在(,],[,)00上分别是增函数、减函数，可作出函数()fx的图象如图5所示：图5由12xx知，可不妨设12xx，再由12()()fxfx及图5可得1201xx，所以20x.欲证120xx，即证12xx.又因为函数()fx在(,]0上是增函数，所以即证12()()fxfx.再由12()()fxfx知，即证222()()(0)fxfxx，也即证22222(1)e(1)e0(0)xxxxx22222(1)e10(0)xxxx设222222()(1)e(1)e(0)xxgxxxx，得222222()e(e1)0(0)xxgxxx，所以函数2()gx是增函数，得22()(0)0(0)gxgx，所以120xx.题3设1212,()xxxx是函数()e(xfxaxaaR)的两个零点，求证：1212xxxx.证法1由题设，可得1212e(1),e(1)xxaxax①把它们相乘后，可得1221212e[()1]xxaxxxx.当0a时，函数()exfxaxa是增函数，它不可能有两个零点，所以20,0aa(再由及①12xx可得121xx)，由此可得欲证1212xxxx，即证1221212e,2ln,2lnxxaxxaxax.11x2x1Oyx由()exfxa及0a，可得函数()fx在(,ln],[ln,)aa上分别是减函数、增函数，再由121xx可得12ln,exaxa.欲证122lnxax，即证122lnlnxaxa.因为函数()fx在(,ln]a上是减函数，所以即证12()(2ln)fxfax.再由12()()fxfx，得即证222()(2ln)(ln)fxfaxxa.设2222()()(2ln)(ln)gxfxfaxxa，可得222222()()(2ln)e20(ln)exxagxfxfaxaxa.所以函数2()gx是增函数，得22()(ln)0(ln)gxgaxa，所以1212xxxx.证法2证法1中的结论①在这里也成立，把①中的两式相除后，可得21(1)(1)211e1xxxx.在证法1中已得121,exxa.欲证1212xxxx，即证21(1)(1)1xx.设211,1(0)xuxvuv，可得euvuv.设211(1)1xttx，由21211(1)(1)(1)lnxtxxxt，可得21ln11ln11ttxttxt.所以即证2ln1(1)1ttttln1(1)1tttt12ln(1)tttt12ln0(1)tttt设1()2ln(1)Fxxxxx，可得2(1)()0(1)xFxxx.所以函数()Fx在1，上是减函数，...