66数学教学研究第33卷第9期2014年9月穷则思，思则变，变则通孙东杰(甘肃省玉门市第一中学735211)古人云：穷则思，思则变，变则通．意思是：当事物发展到极点的时候，便想到要加以变化，以求通达．后多指人在困境时就会设法改变现状以求发展．可见，变通在人生道路上何其重要．数学解题也如此，面对数学题目分析困难，解答受挫，计算难以进行时，只有通过努力思考，反复变通题意，抓住问题本质，从中探究方法，方能帮助理解并解决问题．下面案例阐明变通在解题中的作用．1题目1(2011年高考陕西理10题)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是()．11C1(A)壶(B)言(c)盖(D)言1．1师生交流过程学生思路：该问题如同抛骰子，将两颗骰子一次抛出，则点数相同的概率即为本题最后1小时他们同在一个景点的概率，即P=1÷，故选D．U教师质疑：(担心学生没理解题意)题目意思是每次各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，首先游览4个景点，其次4个景点不重复，而抛骰子只进行了一次，被认为是最后1小时游览景点的情形，忽视了前3次游览情况．学生解释：前3景点游览与否与结果没有关系，起决定作用的只有第4景点，如同抛骰子，前3次抛与未抛都一样，自己仍然觉得p=16．教师问道：模拟抛骰子中，前3次抛了么?若抛了，前3次产生结果是否对第4次结果有影响?若出现“1—2—3—1”的情形，将如何看待?此时，学生沉默，好像无力争辩，接下来教师给出正确答案P=等会皆一吉，为了使问题得到充分理解，不假思索的给出以下问题：问题1若从1到6号景点中任选3个进行游览，每个景点参观l小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是?问题2任选5个进行游览呢?通过计算，面对选择3，4，5个景点游览而最终概率一致的情况，学生有种肯定自己起初时的认识与立场，还有种将题目推广开来，看看一般情形的冲动，在教师的鼓励下，学生发现以下推广．1．2问题推广甲乙两人各自独立地从1到竹号景点中任选m个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是P==吣氏：n‘此时，学生起初的想法与简单结论在脑海中回荡，不断促使对两种过程沟通融合，经仔细揣摩，对推广有新的理解：先让甲在，z号景点中任选m处游览，记最后一次游览为景万方数据第33卷第9期2014年9月数学教学研究67点a，乙最后1小时在景点口处游览，其概率为土．咒1．3对学生模拟抛骰子解题答案的过程改进及“说谎式”变通和学生相互探讨中，对该题目有了以下共识：因为甲乙相互独立，所以甲先抛骰子，第1次抛得结果记为a。，第2次抛得结果若为a，，则重新抛骰子，否则记为口：，第3次抛得结果若为a。或a：则重新抛，否则记为a。，同理第4次抛得结果记为a。．乙后抛骰子，前3次抛得口。或出现重复结果则取消，直到第4次抛得a。时，才视为甲乙最后1小时同1在一景点，概率为÷．o此时，感觉该解答不具说服力，于是在困惑中思考，思考中变通，得到以下学生更易接受和理解的“说谎”式变通过程：问题3游览中，甲由于碰见一位朋友耽误1小时，于是在游览中为了赶时问将第1，2景点的时间各压缩半小时，最后在同一景点的概率是?问题4游览中，甲由于碰见一位朋友耽误两小时，于是在游览过程中在要去的第1，2景点门口拍照后便去第3，4景点游览．最后在同一景点的概率是?问题5游览中，甲碰见几位要好的朋友聊天，发现时已过4小时，此时甲直奔某一景点，而随机说谎称游览4景点，最后在同一景点的概率是?问题6游览中，甲由于耽误4小时而说谎称已游览4景点，将最后游览景点电话告知老师后，问老师甲和乙在同景点的概率是多少?问题7游览中，甲乙都说谎称游览4景区，甲电话告知老师并问老师甲乙最后在同一景点的概率是多少(乙没有告知老师)?通过以上问题3至问题7对题目逐渐进行“说谎式”变通，学生发现问题本身没有改变．而面对问题的解答与理解则渐进渐深，问题3问题4只是压缩了游览时间，而问题5随机说谎称游览4景点，没改变题目l的本质，特别是问题6说谎称游览4景点，但只告诉老师最后游览的景点，若老师问前3处游览哪里?甲还可以随机说谎...
