麦克斯韦方程组的对称性和协变性 邵继红 , 吴正中 , 唐旭东VIP免费

2001年11月第7卷第4期安庆师范学院学报(自然科学版)JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScience)Nov.2001Vol.7NO.4ΞΞΞ麦克斯韦方程组的对称性和协变性邵继红,吴正中,唐旭东(淮南工业学院物理教研室,安徽淮南232001)摘要:麦克斯韦方程组有优美的对称性和协变性。这里我们用洛仑兹变换及电磁场量的变换直接验证麦克斯韦方程组在洛仑兹变换下为不变式。关键词:麦克斯韦方程;对称性;协变性中图分类号:O441.文献标识码:A文章编号:1007-4260(2001)04-0049-03麦克斯韦于1865年完成了他的论文“电磁场的一个动力学理论”。在这篇论文中提出了电磁场的八个基本方程,全面概括了电磁场运动的特征。引入了位移电流,指出了电磁场的存在及传播规律。这些光辉的预见,后来都被实验完全证实。麦克斯韦方程组充分表现了电场和磁场的对称性和协变性,从而体现了自然世界优美的对称性和协变性。1麦克斯韦方程组的对称性麦克斯韦方程组可以概括整个电磁学规律,它具有优美的对称性[1,2]:�×E=-5B5t(1)�×B=Λ0J+Λ0Ε05E5t(2)�·E=ΘΕ0(3)�·B=0(4)麦克斯韦方程组反映普遍情况下电荷电流激发电磁场以及电磁场内部矛盾运动的规律。它的主要特点是揭示了变化电磁场可以互相激发的运动规律,从而在理论上预言了电磁场的存在,并指出光就是一种电磁波。麦克斯韦方程组还揭示了电磁场可以独立于电荷之外单独存在,这就更加深了我们对电磁场物质性的认识。麦克斯韦方程组是宏观电磁现象的理论基础,它的应用范围及其广泛,利用它原则上可以解决各种宏观电磁现象。电磁场的计算都可以归结为对这组方程的求解过程。稳恒电磁场只不过是5B5t=0,5E5t=0的特殊情况下的麦氏方程;在讨论电磁波及在真空中的传播问题时,也只需令Θ=0,J=0,就可以得到关于E和B的完全对称的波动方程:�2E-1c252E5t2=0;�2B-1c2=52B5t2=0对电磁波的辐射问题,我们可以引入电磁场的矢势A及标势Υ,使B=�×A及E=-�Υ-5A5t从而由麦克斯韦方程组得到A,Υ满足的基本方程。在洛仑兹规范下,其形式为:�2A-1c252A5t2=-Λ0J(5)�2Υ-1c252Υ5t2=-ΘΕ0(6)ΞΞΞ作者简介:邵继红(1964-),女,安徽阜阳人,淮南工业学院物理教研室讲师,研究声学。收稿日期:2001-03-19它和麦氏方程完全等价,是非齐次的波动方程。我们同样注意到,这两个方程具有优美的对称性。2麦克斯韦方程组的协变性麦克斯韦没有发现相对论。相对论是1905年爱因斯坦创立的,但是麦克斯韦在1865年提出的电磁场基本方程却具有洛仑兹协变性,这又一次说明了麦克斯韦方程对电磁场描述的完美性。用四维势矢量或四维电磁场张量来描述电磁场,可以明显看出麦克斯韦方程组具有洛仑兹协变性,这是一般电动力学的讨论方法[3]。为了直观起见,我们在这里用洛仑兹变换及电磁场量的变换直接验证麦克斯韦方程组在洛仑兹变换下为不变式[4]。用洛仑兹坐标变换x′=x-vt1-v2�c2,y′=y,z′=z,t′=t-vxc21-v2�c2可得微分运算的变换55x=Χ(55x′-vc255t′)(7)55y=55y′(8)55z=55z′(9)55t=Χ(55t′-v55x′)(10)其中Χ=(1-v2�c2)-12(11)把麦克斯韦方程(1),(4)在直角坐标系写成分量式5Ez5y-5Ey5z=-5Bx5t(12)5Ex5z-5Ez5x=-5By5t(13)5Ey5x-5Ex5y=-5Bz5t(14)5Bx5x+5By5y+5Bz5z=0(15)将(7)(9)代入(13),得5Ex5z-Χ(5Ez5x′-vc25Ez5t′)=-(5By5t′-v5By5x′)整理后得5Ex5z′-55x′Χ(EZ+vBY)=-55t′Χ(By+vc2Ez)(16)如果麦克斯韦方程组是洛仑兹协变的,即在一切惯性参考系中数学形式不变,则在∑′中必需有5E′x5z′-5E′z5x′=-5B′y5t′(17)方程(16)与(17)具有相同的数学形式,这就表明方程(1)的y分量是洛仑兹协变的。如果令E′x=Ex(18)E′z=Χ(EZ+vBY)(19)B′y=Χ(By+vc2Ez)(20)则方程(16)和(17)完全相同。类似地,方程(14)变为55x′Χ(Ey-vBz)-55y′Ex=-55t′Χ(Bz-vc2Ey),这与方程5E′y5x′-5E′x5y′=-5B′z5t′具相同的数学形式,如果令E′y=Χ(Ey-vBz)(21)E′x=ExB′z=Χ(Bz-vc2Ey)(22)则此二方程相同。由(15)式,得·05·安庆师范学院学报(自然科学版)2001年Χ(5Bx5x′-vc25Bx5t′)+5By5y′+5Bz5z′=0(23)代入方程(20)和(22)的逆变换,整理并消去Χ,得5Bx5x′+5By5y′+5Bz5z′=vc2(5E′z5y′-5E′y5z′+5Bx5t′)(24)由...