in=2=>22椭圆—+^-专题:椭圆的离心率b已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率£=2r增2•椭圆—+—=1的离心率为三，则加=4m2［解析］当焦点在x轴上时，迁疋=£=>加=3；当焦点在y轴上时，也二£=］»=£22yjtn23综上加=匹或3333,已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是一54,______________________________________________________________________m,n,mn成等比数列，则椭圆—+—=1的离心率为mn2n=2/77+n［解析］由
0.7?>0)则当mn取得最小值时，椭圆二+厶=1的的离心率为—mntirir2牙.y*6,设椭圆—+—=1(^>6>0)的右焦点为凡右准线为h若过月且垂直于x轴的弦的长等于点尺到的距crZ?-离，则椭圆的离心率是丄。2二，运用几何图形中线段一，利用定义求椭圆的离心率&£a的几何意义结合椭圆的定义求离心率£1,在&AABC中，ZA=9(r,AB=AC=1,如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦点为C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率{e=yf6-yf3)2,如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线与BF交于D,且ZBDB、=90\则椭圆的离心率为()［解析］—•(--)=-1=><72-c2=ac=>e=—―-ac23,以椭圆的右焦点氏为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点,F】与圆相切，则椭圆的离心率是石-1变式(1)：以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于爪N两点，如果IMF|=|M0|,则椭圆的离心率是—14,椭圆错误！-错误匸l(a>b>0)的两焦点为Fi、F2,以F：F：为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?解:v|F1F2|=2cIBF1I=cIBF2|=\r(,3)cc+\r(,3)c=2aAe=错误!二错误!T变式(1):椭圆错误！+错误!二1(a>b>0)的两焦点为冉.F?,点P在椭圆上，使AOPFi为正三角形，求椭圆离心率？解:连接PF：,则|0氏I=|OFj二IOPI,ZFIPF2=90°图形如上图，e=©■刁-12变式(2)椭圆二亍+错误匸l(a>b>0)的两焦点为F】.F：,AB为椭圆的顶点,P是椭圆上一点，且PFia丄X轴，PF：〃AB,求椭圆离心率？解：二错误！IF：Fl|=2c|0B|=b|OA|=aPF?//AB二错误仁错误！又Tb二错误！Aa2=5c2己二错误！变式(3):将上题中的条件"PF2〃AB”变换为“PO〃43(O为坐标原点)”相似题：椭圆\f(x2,J)-错误匸l(a>b>0),A是左顶点,F是右焦点,B是短轴的一个顶点，ZABF二90°,求e?解:IAO=aIOFI=cIBFI=a|AB|=\r(,a：+b2)a2+b'+a"=(a+c)：=aJ+2ac+c‘a"—c：-ac=0两边同除以£e'+e—1=0e二错误！e二错误！(舍去)变式⑴：椭圆错误！+错误!=1(a>b>0),e=错误!，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求ZABF?点评:此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=耳2的椭圆为优美椭圆。性质：(1)ZABF二90°(2)假设下端点为B】，则ABFB】四点共圆。(3)焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。变式(2):椭圆二+・=l(<3>b>0)的四个顶点为乩B、C、D.若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则cr/?•椭圆的离心率e提示：内切圆的圆心即原点，半径等于6又等于直角三角形AOB斜边上的高，•••由面积得:ab=r^a2+b2,但r=c•>r4,设椭圆2L+Xl=i(a>b>0)的左、右焦点分别为如果椭圆上存在点P,使QPE=90。，求离心率e的取值范围。解:设P(x,y),耳(-c,0),F2(C,0)法1:利用椭圆范怜|。由币丄F》得x2+y2=c2,将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得x2=a'C~~a'b~=a--b-L由椭圆的性质^0|PF,|2+|PF212+2|PFL\\PF2\=4a2,又因为ZFfF?=90。,可得IPF^+1PF212=|Ff.|2=4c2,则|PFJ|PF2\=2(a2-c2)=2b2,c?i/y0的两个根，则△=4/—80—，)20二>，=冇》刁=>空冷-aLL解法3：正弦定理设记肝耳=a,ZPF.F严卩,由正弦定理有四■!=匹1=1^基1=>丨"」+屮尸」=|仟斤|1--1sin0sumsm90°sina+sin01又因^J\PF1\+\PF2\=2a,\Ff21=2c,且&+0=9O°则111asina+sin0sina+cosO72sin(a+71)4J所以—
