四直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系知识要点：1．垂直关系线线垂直线面垂直面面垂直2．垂直关系的判定定理（1）线线垂直的判定定理：判定定理1：，判定定理2：三垂线定理及其逆定理（2）线面垂直的判定定理：判定1：，判定2：：判定3：：（3）面面垂直的判定定理：判定：3．垂直关系的性质定理：（1）线面垂直的性质定理：性质定理1:，性质定理2:（2）面面垂直的性质定理：题例1．设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若B．则C．D．2．如图在正三棱锥A—BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE,且BC=1，则正三棱锥A—BCD的体积是()A.B.C.D.3．已知、是平面，、是直线，给出下列命题①若，，则②如果，，则③如果，，是异面直线，那么不与相交。④若，且，，则且。其中真命题的个数是A、1B、2C、3D、44.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，且PAAD，点F是棱PD的中点，点E在棱CD上移动.PABCDFE(Ⅰ)当点E为CD的中点时，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由；(Ⅱ)求证：PEAF.5．如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上。（Ⅰ）求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小。6．如图，已知三棱锥A—BPC中，APPC⊥，ACBC⊥，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积．【分析】（1）只要证明∥即可，根据三角形中位线定理可证；（2）证明；（3）根据锥体体积公式进行计算。【解析】（1）由已知得，是ABP的中位线（2）为正三角形，D为PB的中点，又又平面ABC⊥平面APC（3）由题意可知，，是三棱锥D—BCM的高，7．如图，正三棱柱ABC—A1B1C1中，D是BC的中点，（1）求证：；（2）求证：A1C//平面AB1D；（3）求点A1到平面AB1D的距离。8.如图，底面为正三角形，面，面，，设为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．9.在边长为的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；（2）求多面体E-AFMN的体积．解.（1）因翻折后B、C、D重合（如图），所以MN应是的一条中位线，则．（2）因为平面BEF，且，∴，又∴．10．如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD；（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小解：方法一：（Ⅰ）证明：ABCDEF第8题MNFEBCADAEFMNB（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE △VAD是正三角形∴AE⊥VD，AF=AD AB⊥平面VAD∴AB⊥AE又由三垂线定理知BE⊥VD因此，是所求二面角的平面角于是，，即得所求二面角的大小为方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。（Ⅰ）证明：不妨设，则，，由，得，又，因而与平面内两条相交直线都垂直。∴平面（Ⅱ）解：设为中点，则由，得，又因此，是所求二面角的平面角。 ∴解得所求二面角的大小为练习五直线、平面垂直的判定与性质一．选择题1．给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件C．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件2．设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直B．过直线有且只有一个平面与平面垂直C．与直线垂直的直线不可能与平面平行D．与直线平行的平面不可能与平面垂直3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为OCADBA.B.C.D.4．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是A．B．C．D．5．已知直线m，n和平面满足,则或或6．在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为棱上的一点，且．则点到平面的距离为Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．7.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s...
