浅谈高中数学不等式的证明方法VIP专享VIP免费

浅谈高中数学不等式的证明方法姜堰市罗塘高级中学李鑫摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异,所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究一．比较法所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“，，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。例1已知：，，求证：.分析：两个多项式的大小比较可用作差法证明，故得.例2设，求证：.分析：对于含有幂指数类的用作商法证明因为，所以，.而，故二．分析法从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。例3：求证证明：为了证明原不等式成立，只需证明即，只需证明成立原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱碰，从而加强针对性，较快地探明解题途。三．综合法从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。例4：已知，，求证：证明： ∴1=∴又 奎屯王新敞新疆∴．四．反证法从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法.用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一导出矛盾这里作一简单介绍。反证法证明一个命题的思路及步骤：1）假定命题的结论不成立；2）进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾3）由于上述矛盾的出现，可以断言，原来的假定“结论不成立”是错误的;4）肯定原来命题的结论是正确的。例5：已知，求证：至少有一个小于等分析：本题从正面考虑情况较多，可考虑选用反证法，“小于等于”的反面是“大于”“至少有一个”的反面是“一个也没有”。证明：假设都大于，则 ∴根据平均值不等式，有，同理，显然矛盾.所以结论成立。五．放缩法放缩法就是在证明过程中,利用不等式的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明.放缩法的目的性强,必须恰到好处,同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及.否则不能达到目的。例6：设、、是三角形的边长，求证证明：由不等式的对称性，不妨设，则且，∴∴六．数学归纳法对于含有的不等式，当取第一个值时不等式成立，如果使不等式在时成立的假设下，还能证明不等式在时也成立，那么肯定这个不等式对取第一个值以后的自然数都能成立.例7已知：，，，求证：.证明（1）当时，，不等式成立；（2）若时，成立，则=，即成立.根据（1）、（2），对于大于1的自然数都成立.七．换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化.例8：已知：，求证：.证明设，，则，所以例9：已知，求证：。本题在前面综合法中证明过，但观察到已知条件中的，可考虑用换元法，设.证明： ，(求证式中分母含)可设，其中，其中，于是：∴当时，分子取最小值，分母取最大值.∴八．利用均值不等式均值不等式公式：①（当且仅当时取“”）；②（当且仅当时取“”）。均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定三相等）。例10：已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。证明: b2+c2≥2bc,a>0,∴a(b2+c2)≥2abc同理，b(c2+a2)≥2bac,c(a2+b2)≥2cab,又因为a，b，c不全相等，所以上述三个不等式中等号不能同时成立，因此a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6...