高三数学专题教案第1讲—充要条件下的等价转换VIP免费

高三数学专题教案第1讲：充要条件下的等价转换学科网学科网方程3x–6=0的解还是一个方程x=2；不等式3x–6>0的解还是一个不等式x>2.学科网作为方程（或不等式）的解的方程（或不等式）具备两个条件：其一，它与原方程（或不等式）同解；其二，它是原方程（或不等式）的简化（到不能再简的）形式.学科网充要条件，要求能由条件推出结论，并且由结论也能推出条件.此时我们称条件和结论互相等价.学科网等价转换解题，就是用等价的、简化的条件去替代原来的条件（即问题）.当条件简化到不能再简的时候，我们称其为“答案”.此时，也只能到此时，我们称“解题完毕”.学科网等价转化后的新问题与原问题实质是一样的.等价转化总是将抽象转化为具体，将复杂转化为简单、将未知转化为已知.转换就是变换，通过变换能迅速而合理的寻找和选择问题解决途径和方法，并由此途径和方法找到问题的答案.学科网学科网【例1】已知函数f(x)=4x–2x+1，求f-1(0).学科网学科网【分析】为求f-1(0)，可先求f-1(x).但求f-1(x)不太容易（繁），于是可寻找原命题的、简单的等价命题（化简）.学科网学科网【解析】因为反函数的定义域即是原函数的值域，故原问题等价于解方程：学科网学科网4x–2x+1=0学科网x=1学科网因此求得f-1(0)=1.学科网学科网【点评】等价转换追求方的向是化繁为简的方向（如例1），有时要经过曲折，最后化繁为简（如后面的例3）.学科网学科网【例2】已知圆02:222ayaxyxC，定点A(1，2)，要使过点A作圆C的切线有两条，则实数a的取值范围是（）学科网A．332,332B．33,33学科网C．,D．,0学科网学科网【分析】本题涉及到的圆实为一类性质的圆的集合，其性质就是过定点A能作出圆的两学科网条切线——这就是问题的条件.结论呢？——求参数a所取的实数值的集合.学科网按集合的纯粹性与完备性的概念，a的值要求一个不假且一个不漏.因此条件到结论的转换学科网是等价转换.学科网【解析】A圆的方程为434)1(2222ayax.学科网用心爱心专心依据题意，点A(1，2)在圆外，得.0434)12(21222aa学科网解得实数a的取值范围是332,332.学科网【说明】本解的等价转换分两个过程：第一过程是，将“有两条切线”等价为“点A在圆外”；第二过程是，将“点A在圆外”等价为“点到圆心的距离大于圆的半径”.学科网学科网【例3】已知函数()|2|fxxx.学科网（Ⅰ）写出()fx的单调区间；学科网（Ⅱ）解不等式()3fx；学科网（Ⅲ）设0a，求()fx在[0]a，上的最大值.学科网【分析】绝对值函数不知如何下手，转向与它等价的两个分段函数，分别求其解，最后再求并集.学科网【解析】（Ⅰ）解：22222(1)12()|2|2(1)12.xxxxfxxxxxxx，，，学科网()fx的单调递增区间是(1][2)，和，；单调递减区间是[12]，.学科网（Ⅱ）解：2222|2|3232230230xxxxxxxxxx，，或或，，，学科网不等式()3fx的解集为{|3}.xx学科网（Ⅲ）解：（1）当10a时，()fx是[0]a，上的增函数，此时()fx在[0]a，上的最大值是()(2)faaa；学科网（2）当21a时，()fx在[01]，上是增函数，在[1]a，上是减函数，此时()fx在[0]a，上的最大值是(1)1f；学科网（3）当2a时，令2()(1)(2)1210fafaaaa，解得12a.学科网①当212a时，此时()(1)faf，()fx在[0]a，上的最大值是(1)1f；学科网②当12a时，此时()(1)faf，()fx在[0]a，上的最大值是()(2)faaa.学科网用心爱心专心综上，当01a时，()fx在[0]a，上的最大值是(2)aa；当112a时，()fx在[0]a，上的最大值是1；当12a时，()fx在[0]a，上的最大值是(2)aa.学科网学科网【点评】等价转换是充要条件之间的相互替代.替代的目的，或化繁为简，或化生为熟，或化隐为显.本题采用“分而治之”的办法，把“隐问题”（含绝对值函数）转换为“显问题”（不含绝对值函数）.学科网“分而治之”就是分类讨论，它可以把一个...