§8.7立体几何的综合问题最新考纲考情考向分析1.理解空间点、直线、平面的位置关系的定义，理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念.2.了解直线的方向向量与平面的法向量.3.了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法.利用线面关系的判定、性质定理证明空间的平行和垂直；利用空间角的概念或借助空间向量计算空间角(以线面角为主)，题型为解答题，考查学生的空间想象能力和计算能力.1.直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为2.空间中平行、垂直关系的证明方法(1)利用空间平行、垂直关系的转化：线线关系线面关系面面关系.(2)利用直线的方向向量和平面的法向量的关系.3.求两条异面直线所成的角(1)用“平移法”作出异面直线所成角(或其补角).(2)用“向量法”求两直线的方向向量所成的锐角.4.求直线与平面所成的角(1)按定义作出线面角(即找到斜线在平面内的射影)解三角形.(2)直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝.5.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面的单位法向量是唯一确定的.(×)(2)若两平面的法向量平行，则两平面平行.(√)(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.(√)(4)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)(5)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π].(√)(6)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(×)题组二教材改编2.[P104T2]设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________.答案α⊥βα∥β解析当v＝(3，－2，2)时，u·v＝(－2，2，5)·(3，－2，2)＝0得α⊥β.当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u得α∥β.3.[P111T3]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________.答案垂直解析以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M，O，N，AM·ON＝·＝0，∴ON与AM垂直.4.[P104T2]已知两平面的法向量分别为m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，则两平面所成的二面角为________.答案45°或135°解析cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°.∴两平面所成二面角为45°或180°－45°＝135°.题组三易错自纠5.直线l的方向向量a＝(1，－3，5)，平面α的法向量n＝(－1，3，－5)，则有()A.l∥αB.l⊥αC.l与α斜交D.l⊂α或l∥α答案B解析由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B.6.已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________.答案30°解析设l与α所成角为θ， cos〈m，n〉＝－，∴sinθ＝|cos〈m，n〉|＝， 0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.题型一证明平行或垂直问题1.(2018·台州调研)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内答案B解析以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由于A1M＝AN＝，则M，N，MN＝.又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量.因为MN·C1D1＝0，所以MN⊥C1D1，又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥...
