第4讲函数与导数的综合问题[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019函数零点存在性问题，不等式与参数范围·T20函数的极值点及方程根·T212018利用导数研究函数的单调性、不等式的证明·T21函数的单调性与导数、函数零点的证明·T21导数的几何意义、不等式的证明·T212017函数的单调性与导数、不等式与参数范围·T21函数的单调性与导数、不等式与参数范围·T21利用导数研究函数的单调性、不等式的证明·T21导数日益成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题，是高考的热点和难点.解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值.第1课时函数、导数与不等式利用导数证明不等式[例1](2019·天津高考节选)设函数f(x)＝excosx，g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间；(2)当x∈时，证明：f(x)＋g(x)≥0.[解](1)由已知，有f′(x)＝ex(cosx－sinx).因此，当x∈(k∈Z)时，有sinx>cosx，得f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(k∈Z)时，有sinx0，则f(x)单调递增.所以，f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，f(x)的单调递减区间为(k∈Z).(2)证明：记h(x)＝f(x)＋g(x).依题意及(1)，有g(x)＝ex(cosx－sinx)，从而g′(x)＝－2exsinx.当x∈时，g′(x)<0，故h′(x)＝f′(x)＋g′(x)＋g(x)(－1)＝g′(x)<0.因此，h(x)在区间上单调递减，进而h(x)≥h＝f＝0.所以，当x∈时，f(x)＋g(x)≥0.[解题方略]1.证明不等式的基本方法(1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①∀x∈[a，b]，有f(a)≤f(x)≤f(b)，②∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，有f(x1)＜f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则∀x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m).2.证明f(x)＜g(x)，可构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，证明F(x)＜0.[跟踪训练](2019·湖北省仙桃中学5月适应性考试)已知函数f(x)＝axlnx(a＞0)的图象在点(e，f(e))处的切线和直线x＋2y＋1＝0垂直.(1)求a的值；(2)对任意的x＞0，证明：f(x)≥－2x－e－3.解：(1)由f(x)的图象在点(e，f(e))处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，得该切线的斜率为2，即f′(e)＝2.因为f′(x)＝a(lnx＋1)，所以a(lne＋1)＝2，解得a＝1.(2)证明：令g(x)＝f(x)＋2x＋e－3，则由(1)知g(x)＝xlnx＋2x＋e－3(x＞0)，则g′(x)＝lnx＋3，显然g′(x)＝0时，x＝e－3，当x∈时，g′(x)＜0，所以函数g(x)在上单调递减.当x∈时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在上单调递增，所以g(x)≥g(e－3)＝－3e－3＋2e－3＋e－3＝0，所以对任意的x＞0，f(x)≥－2x－e－3.利用导数研究不等式恒成立、存在性问题[例2]已知函数f(x)＝x－(a＋1)lnx－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值.(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2，0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.①当a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)≥0，f(x)为增函数，f(x)min＝f(1)＝1－a.②当1＜a＜e时，x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；x∈[a，e]时，f′(x)≥0，f(x)为增函数.所以f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)lna－1.③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上为减函数.f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.综上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；当1＜a＜e时，f(x)min＝a－(a＋1)lna－1；当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－.(2)由题意知f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2，0])的最小值.由(1)知当a＜1时，f(x)在[e，e2]上单调递增，f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.g′(x)＝(1－ex)x.当x∈[－2，0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min＝g(0)＝1，所以e－(a＋1)－＜1，即a＞，所以a的取值范围为.[题后悟通]求解此类题目的策略∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值即f(x)min＞g(x)min.其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有...
