第7课三角函数的值域与最值【考点导读】1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法．【基础练习】1.函数xxycos3sin在区间[0,]2上的最小值为1．2.函数)(2cos21cos)(Rxxxxf的最大值等于．3.函数tan()2yx(44x且0)x的值域是___________________．4.当20x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为4．5.已知k＜－4，则函数y＝cos2x＋k(cosx－1)的最小值是1．6.若2，则cos6siny的最大值与最小值之和为____2____．【范例解析】例1.（1）已知1sinsin3xy，求2sincosyx的最大值与最小值．（2）求函数sincossincosyxxxx的最大值．分析：可化为二次函数求最值问题．解：（1）由已知得：1sinsin3yx，sin[1,1]y，则2sin[,1]3x．22111sincos(sin)212yxx，当1sin2x时，2sincosyx有最小值1112；当2sin3x时，2sincosyx有最小值49．（2）设sincosxxt(22)t，则21sincos2txx，则21122ytt，当2t时，y有最大值为122．点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的用心爱心专心取值范围．例2.求函数2cos(0)sinxyxx的最小值．分析：利用函数的有界性求解．解法一：原式可化为sincos2(0)yxxx，得21sin()2yx，即22sin()1xy，故2211y，解得3y或3y（舍），所以y的最小值为3．解法二：2cos(0)sinxyxx表示的是点(0,2)A与(sin,cos)Bxx连线的斜率，其中点B在左半圆221(0)aba上，由图像知，当AB与半圆相切时，y最小，此时3ABk，所以y的最小值为3．点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解．例3.已知函数2π()2sin3cos24fxxx，ππ42x，．（I）求()fx的最大值和最小值；（II）若不等式()2fxm在ππ42x，上恒成立，求实数m的取值范围．分析：观察角，单角二次型，降次整理为sincosaxbx形式．解：（Ⅰ）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx π12sin23x．又ππ42x， ，ππ2π2633x∴≤≤，即π212sin233x≤≤，maxmin()3()2fxfx，∴．用心爱心专心（Ⅱ）()2()2()2fxmfxmfx ，ππ42x，，max()2mfx∴且min()2mfx，14m∴，即m的取值范围是(14)，．点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．例4．扇形AOB的半径为1，中心角为60，PQRS是扇形的内接矩形，问P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积最大，并求出最大值．分析：引入变量AOPx，建立目标函数．解：连接OP，设AOPx，则sinPSx，cosOSx，3cossin3RSxx．333(cossin)sinsin(2)3366Sxxxx，03x，所以当6x时，P在圆弧中心位置，max36S．点评：合理引进参数，利用已知条件，结合图形建立面积与参数之间的函数关系式，这是解题的关键．【反馈演练】1．函数))(6cos()3sin(2Rxxxy的最小值等于____－1_______．2．已知函数()3sinfxx，3()sin()2gxx，直线mx和它们分别交于M，N，则maxMN_________．3．当04x时，函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是______4_______．4．函数sincos2xyx的最大值为_______，最小值为________.5．函数costanyxx的值域为.6．已知函数11()(sincos)|sincos|22fxxxxx，则()fx的值域是.用心爱心专心ABORSPQ例47．已知函数()2sin(0)fx...
