第3讲导数的几何意义及简单应用[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019导数的几何意义，求切线方程·T13导数的几何意义，求切线方程·T10利用导数的几何意义求参数·T7利用导数研究函数的极值·T21(1)利用导数讨论函数的单调性与最值·T202018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程·T6利用导数的几何意义求切线方程·T13利用导数的几何意义求切线方程·T21(1)利用函数的极值点求参数及单调区间·T21利用导数求函数的单调区间·T21(1)2017利用导数的几何意义求切线方程·T14利用导数研究函数的单调性·T21(1)利用导数研究函数的单调性·T21(1)利用导数研究函数的单调性·T21(1)(1)此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小.(2)应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般.导数的几何意义[例1](1)(2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A.x－y－π－1＝0B.2x－y－2π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0D.x＋y－π＋1＝0(2)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1[解析](1)设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.(2)y′＝aex＋lnx＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1. 已知切线方程为y＝2x＋b，∴即a＝e－1，b＝－1.故选D.[答案](1)C(2)D[解题方略]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0).(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.[跟踪训练]1.(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()A.2B.C.D.解析：选Df′(x)＝1＋，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝，故选D.2.(2019·江西八所重点中学联考)已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________.解析：因为y＝f(x)＝＋，所以f′(x)＝－＋，所以曲线y＝＋在x＝1处的切线l的斜率k＝f′(1)＝－1＋.直线2x＋3y＝0的斜率k′＝－.因为切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以×＝－1，得a＝.答案：3.已知函数f(x)＝x－sinx－cosx的图象在点A(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tanx0＝________.解析： f(x)＝x－sinx－cosx，∴f′(x)＝－cosx＋sinx＝＋sin. 函数f(x)的图象在点A(x0，y0)处的切线斜率为1，∴＋sin＝1，∴x0－＝＋2kπ，k∈Z，∴x0＝＋2kπ，k∈Z，∴tanx0＝tan＝tan＝－tan＝－.答案：－利用导数研究函数的单调性[例2](1)(2019·广东省七校联考)已知定义在R上的连续可导函数f(x)，当x≠0时，有xf′(x)＜0，则下列各项正确的是()A.f(－1)＋f(2)＞2f(0)B.f(－1)＋f(2)＝2f(0)C.f(－1)＋f(2)＜2f(0)D.f(－1)＋f(2)与2f(0)大小关系不确定(2)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，讨论f(x)的单调性.[解析](1)由题意得，x＜0时，f(x)是增函数，x＞0时，f(x)是减函数，∴x＝0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，∴f(－1)＜f(0)，f(2)＜f(0)，两式相加得，f(－1)＋f(2)＜2f(0)，故选C.[答案]C[解](2)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.③若a＜0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.故f...
