xX2oaX3bx1y函数的最大与最小值教学目标:1、使学生掌握可导函数)(xf在闭区间ba,上所有点(包括端点ba,)处的函数中的最大(或最小)值;2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学重点:掌握用导数求函数的极值及最值的方法教学难点:提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力一、复习:1、___________/nx;2、_____________)()(/xgxfC3、求y=x3—27x的极值。二、新课在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小观察下面一个定义在区间ba,上的函数)(xfy的图象发现图中____________是极小值,_________是极大值,在区间ba,上的函数)(xfy的最大值是______,最小值是_______在区间ba,上求函数)(xfy的最大值与最小值的步骤:1、函数)(xfy在),(ba内有导数;2、求函数)(xfy在),(ba内的极值3、将函数)(xfy在),(ba内的极值与)(),(bfaf比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值三、例1、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。解:先求导数,得xxy443/令/y=0即0443xx解得1,0,1321xxx导数/y的正负以及)2(f,)2(f如下表X-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2用心爱心专心y/0+0-0+y1345413从上表知,当2x时,函数有最大值13,当1x时,函数有最小值4在日常生活中,常常会遇到什么条件下可以使材料最省,时间最少,效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。例2用边长为60CM的正方形铁皮做一个无盖的水箱,先在四个角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成,问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积是多少?例3、已知某商品生产成本C与产量P的函数关系为C=100+4P,价格R与产量P的函数关系为R=25-0.125P,求产量P为何值时,利润L最大。四、小结:1、闭区间ba,上的连续函数一定有最值;开区间),(ba内的可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值。2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个。3、在解决实际应用问题中,关键在于建立数学模型和目标函数;如果函数在区间内只有一个极值点,那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较。用心爱心专心五、练习及作业::1、函数452xxy在区间1,1上的最大值与最小值2、求函数33xxy在区间3,3上的最大值与最小值。3、求函数5224xxy在区间2,2上的最大值与最小值。4、求函数155345xxxy在区间4,1上的最大值与最小值。5、给出下面四个命题(1)函数452xxy在区间1,1上的最大值为10,最小值为-49(2)函数1422xxy(2<X<4)上的最大值为17,最小值为1(3)函数xxy123(-3<X<3)上的最大值为16,最小值为-16(4)函数xxy123(-2<X<2)上无最大值也无最小值。其中正确的命题有____________6、把长度为LCM的线段分成四段,围成一个矩形,问怎样分法,所围成矩形的面积最大。用心爱心专心7、把长度为LCM的线段分成二段,围成一个正方形,问怎样分法,所围成正方形的面积最小。8、某商品一件的成本为30元,在某段时间内,若以每件X元出售,可以卖出(200-X)件,应该如何定价才能使利润L最大?9、在曲线Y=1—X2(X0,Y0)上找一点了(00,yx),过此点作一切线,与X、Y轴构成一个三角形,问X0为何值时,此三角形面积最小?10、要设计一个容积为V的圆柱形水池,已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价的一半,问:如何设计水池的底半径和高,才能使总造价最少?(提示:2/11xx)用心爱心专心