8．2双曲线方程及性质一、明确复习目标1．掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质;2．理解a,b,c,e,等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1．双曲线定义：(1)到两个定点F1与F2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F1F2|）的点的轨迹（（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点(2)动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆这定点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2．标准方程①－=1，c=，焦点是：F1（－c，0），F2（c，0）②－=1，c=，焦点是：F1（0，－c）、F2（0，c）(图形略)．3．双曲线的几何性质：①范围;②对称轴,对称中心;③顶点;④焦点;⑤准线方程;⑥离心率;⑦渐近线方程(以上可参见课本)⑧焦准距；准线间距;通径长;⑨焦半径公式中符号复杂：建议直接利用第二定义推算．4．等轴双曲线，,a=b,离心率,两渐近线互相垂直，分别为y=;M2M11PK2K1A1A2F2F1Oyx5．共轭双曲线：有共同的渐近线,相等的焦半径．6．渐近线为即的双曲线方程可设为(，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）7．中结合定义与余弦定理可推得，当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）8．从题型与与方法上本节将附带参数取值范围及最值问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等．三、双基题目练练手1．(2006春上海)若，则“”是“方程表示双曲线”的()A．充分不必要条件．B．必要不充分条件．C．充要条件．D．既不充分也不必要条件．2．(2006天津)如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（）A．B．C．D．3．（2006浙江）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则()A．B．C．D．4．(2005北京)已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是（）A．B．C．D．5．（2004全国II）设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是．6．(2006湖南)过双曲线的左顶点作斜率为1的直线,若与双曲线的两条渐近线分别相交于点,且,则双曲线的离心率是_______简答：1-3、ACCC；5．＋y2＝1；6．．四、经典例题做一做【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与双曲线有共同渐近线，且过点；(2)双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，ΔAPB的垂心H总在此双曲线上。【解】：（1）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。（2）设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是ΔAPB的两条高，则BN方程为①PM方程为②又③得，又H在双曲线上，∴④∴，所以双曲线方程为．【例2】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。解：（Ⅰ）设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为提炼方法：求参数的取值范围是个综合性的问题,常用的方法有：Δ法,目标函数法,不等式法,几何法,向量法等．【例3】设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围分析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|．知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值范围解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）①因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，从而得||PM|－|PN||<|MN|=2 ||PM|－|PN||=2|m|>0，∴0<|m|<1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上故－=1②将①代入②，并解得x2=， 1－m2>0，∴1－5m2>0解得0<|m|<，即m的取值范围为（－，0）∪（0，）解题点评：解决此题的关键是用好双曲线的定义,取值范围的求法是——【例4】已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的...
