高三数学第一轮复习讲义（57）空间直线VIP免费

高三数学第一轮复习讲义（57）空间直线一．复习目标：1．了解空间两条直线的位置关系．2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长．二．课前预习：1．下列四个命题：（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线（2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条（3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面其中真命题个数为（D）()A3()B2()C1()D02．在正方体ABCD''''DCBA中，M、N分别是棱'AA和AB的中点，P为上底面ABCD的中心，则直线PB与MN所成的角为（A）()A300()B450()C600()D3．在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为________________．（答案：a22）4．两条异面直线a、b间的距离是1cm，它们所成的角为600，a、b上各有一点A、B，距公垂线的垂足都是10cm，则A、B两点间的距离为____________________．答案：cmcm301101或三．例题分析：例1．已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，aA，aB，bC，cD，求证：AD与BC是异面直线．证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立，∴AD和BC是异面直线。证二：（直接证法） a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C平面α，B∈平面α，AD平面α，BAD，∴AD和BC是异面直线。小结：例2．在三棱台ABCCBA111中，侧棱1BB⊥底面ABC，且21CAAABC，cmBAAB2211．用心爱心专心1（1）求证：BABC1，AABC1，BAAA11．（2）求异面直线AA1和BC的距离．（1）略证，先证BC⊥平面AA1B1B，即得BC⊥A1B，BC⊥A1A，又 A1A⊥A1C（已知），由三垂线定理的逆定理可知，A1A⊥A1B（2）略解，由（1）知，A1A⊥A1B，A1B⊥BC，∴A1B就是A1A和BC的公垂线段。但△AA1B∽△BB1A1，∴1111BAABABBA，又AB=2cm，A1B1=1cm，∴A1B=2cm。小结：例3．一条长为cm2的线段AB夹在互相垂直的两个平面、之间，AB与所成角为045，与所成角为030，且l，lAC，lBD，C、D是垂足，求（1）CD的长；（2）AB与CD所成的角解：（1）连BC、AD，可证AC⊥β，BD⊥α，∴ABC=300，∠BAD=450，Rt△ACB中，BC=AB·cos300=3，在Rt△ADB中，BD=AB·sin450=2在Rt△BCD中，可求出CD=1cm（也可由AB2=AC2+BD2+CD2-2AC·BD·cos900求得）（2）作BE//l，CE//BD，BE∩CE，则∠ABE就是AB与CD所成的角，连AE，由三垂线定理可证BE⊥AE，先求出AE=3，再在Rt△ABE中，求得∠ABE=600。说明：在（3）中也可作CH⊥AB于H，DF⊥AB于F，HF即为异面直线CH、DF的公垂线，利用公式CD2=CH2+DF2+HF2-2·CH·DFcosα，求出cosα=33。小结：四．课后作业：班级学号姓名1．AB、CD在平面α内，AB//CD，且AB与CD相距28厘米，EF在平面α外，EF//AB，且EF与AB相距17厘米，EF与平面α相距15厘米，则EF与CD的距离为（C）用心爱心专心2()A25厘米()B39厘米()C25或39厘米()D15厘米2．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b间的距离为定值，则这样的直线b有（D）()A1条()B2条()C4条()D无数条3．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（B）()A1条()B2条()C3条()D4条4．在正三棱柱111CBAABC中，若12BBAB，则1AB与BC1所成的角的大小．答案：090．5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1的中，求证：B1D被平面A1BC1分成1∶2的两段．证明：如图1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连结B1D1，A1C1，BD，AC．设B1D1A1C1＝M，BDAC＝N．∴M，N分别是B1D1，AC的中点．连结BM，D1N． BB1∥DD1，且BB1＝DD1，∴四边形BDD1B1是平行四边形．在平面BDD1B1中，设B1DBM＝O，B1DD1N＝O1，在平行四边形BDD1B1中， D1M∥NB，且D1M＝NB，∴四边形BND1M是平行四边形．∴BM∥ND1，即OM∥O1D1，∴O是BO1的中点，即O1O＝OB1．同理，OO1＝O1D．∴O1O＝OB1＝O1D．综上，OB1∶OD1＝1∶2．6．如图，已知平面α、β交于直线l，AB、CD分别在平面α，β内，且与l分别交于B，D两点．若∠ABD＝∠CDB，试问AB，CD能...