"《创新方案》届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第六讲第一课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（以年真题和模拟题为例，含答案解析）"1．设函数f(x)＝mx3＋(4＋m)x2，g(x)＝aln(x－1)，其中a≠0
(1)若函数y＝g(x)的图像恒过定点P，且点P关于直线x＝的对称点在y＝f(x)的图像上，求m的值；(2)当a＝8时，设F(x)＝f′(x)＋g(x＋1)，讨论F(x)的单调性．解：(1)令ln(x－1)＝0，则x＝2，∴函数y＝g(x)恒过点(2,0)．又点P(2,0)关于x＝的对称点为(1,0)，∴由题设条件得f(1)＝0，即m＋(4＋m)＝0，解得m＝－3
(2)由题意知，f′(x)＝mx2＋2(4＋m)x，g(x＋1)＝8lnx，故F(x)＝mx2＋2(4＋m)x＋8lnx，x∈(0∞，＋)，F′(x)＝2mx＋(8＋2m)＋＝＝
x>0，x＋1>0，∴当m≥0时，2mx＋8>0，F′(x)>0，此时F(x)在(0∞，＋)上为增函数；当m0得00时，ax2＋x－1>0在(0∞，＋)上总有解；③当a0在(0∞，＋)上有解，只需ax2＋x－1＝0有两个不相等正实数根，∴解得－0，ax(2－lnx)≤1恒成立，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：由题意知x>0，f′(x)＝－(a>0)．(1)由f′(x)>0解得x>，所以函数f(x)的单调递增区间是；由f′(x)0，函数g(x)单调递增；当x∈(e∞，＋)时，g′(x)0，所以0
