“4”道保分题专练卷(四)1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足A＋C＝2B，且cos(B＋C)＝－.(1)求cosC的值；(2)若a＝5，求△ABC的面积．解：(1)∵A＋C＝2B，且A＋B＋C＝π，∴B＝.∵cos(B＋C)＝－，∴sin(B＋C)＝＝，∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C)cosB＋sin(B＋C)sinB＝－×＋×＝.(2)由(1)可得sinC＝＝，sinA＝sin(B＋C)＝.在△ABC中，由正弦定理＝＝，得c＝＝8.S△ABC＝acsinB＝×5×8×＝10.2．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n∈N*)，等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.(1)分别求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝(n∈N*)，求证cn＋1＜cn≤.解：(1)由an＋1＝2Sn＋1，①得an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝3an，∴an＝3n－1.∵b5－b3＝2d＝6，∴d＝3，∴bn＝3n－6.(2)证明：∵an＋2＝3n＋1，bn＋2＝3n，∴cn＝＝，∴cn＋1－cn＝＜0，cn＋1＜cn…＜＜c1＝，∴cn＋1＜cn≤.3．某种零件按质量标准分为1,2,3,4,5五个等级．现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级12345频率0.05m0.150.35n(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件的等级恰好相同的概率．解：(1)由频率分布表得0.05＋m＋0.15＋0.35＋n＝1，所以m＋n＝0.45.由在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n＝＝0.1.所以m＝0.45－0.1＝0.35.(2)由(1)得，抽取的20个零件中，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3，等级为5的零件有2个，记作y1，y2.从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10个．记事件A“为从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2”个零件，其等级恰好相同，则A包含的基本事件为：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4个．故所求概率为P(A)＝＝0.4.4.如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(1)证明：①EF∥A1D1；②BA1⊥平面B1C1EF；(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．解：(1)证明：①因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，A1D1⊂平面A1D1DA，所以C1B1∥平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，所以C1B1∥EF.所以EF∥A1D1.②因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，又B1C1⊥B1A1，所以B1C1⊥平面ABB1A1，而BA1⊂平面ABB1A1，所以BA1⊥B1C1.在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，又B1C1∩B1F＝B1，所以BA1⊥平面B1C1EF.(2)设BA1与B1F交点为H，如下图连接C1H.由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．在矩形AA1B1B中，AB＝，AA1＝2，得BH＝.在直角△BHC1中，BC1＝2，BH＝，得sin∠BC1H＝＝.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.
