“2”道拉分题专练卷(二)1．已知函数f(x)＝x3＋mx2－3m2x＋1，m∈R.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，求m的取值范围．解：(1)当m＝1时，f(x)＝x3＋x2－3x＋1，又f′(x)＝x2＋2x－3，所以f′(2)＝5.又f(2)＝，所以所求切线方程为y－＝5(x－2)，即15x－3y－25＝0.所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为15x－3y－25＝0.(2)因为f′(x)＝x2＋2mx－3m2，令f′(x)＝0，得x＝－3m或x＝m.当m＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，不符合题意．当m>0时，f(x)的单调递减区间是(－3m，m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则解得m≥3.当m<0时，f(x)的单调递减区间是(m，－3m)，若f(x)在区间(－2,3)上是减函数，则解得m≤－2.综上所述，实数m的取值范围是(∞－，－2]∪[3∞，＋)．2．已知圆C：(x＋t)2＋y2＝5(t>0)和椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个公共点为B(0,2)，F为椭圆E的右焦点，直线BF与圆C相切于点B.(1)求t的值和椭圆E的标准方程；(2)圆C上是否存在点M，使得△MBF为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题可知，b＝2.∵C(－t,0)，B(0,2)，∴BC＝＝，∴t＝±1，又t>0，∴t＝1.法一：∵BF为圆C的切线，∴BC⊥BF，∴BC2＋BF2＝CF2，设F(c,0)，则有()2＋(22＋c2)＝(1＋c)2，∴c＝4，又a2＝b2＋c2，b＝2，∴a2＝20，∴椭圆E的标准方程为＋＝1.法二：∵BF为圆C的切线，∴BC⊥BF，∴kBC·kBF＝－1，设F(c,0)，则有2·＝－1，∴c＝4，又a2＝b2＋c2，b＝2，∴a2＝20，∴椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)假设圆C上存在点M(x，y)，使得△MBF为等腰三角形，则点M(x，y)满足(x＋1)2＋y2＝5，①下面分三种情况讨论：(ⅰ)当BM＝BF时，有＝，即x2＋(y－2)2＝20.②由①②联立得∴M(－2，－2)；(ⅱ)当MB＝MF时，有＝，即2x－y＝3，③由①③联立得∴M(1，－1)；(ⅲ)当FM＝FB时，有＝，即x2＋y2－8x－4＝0.④由①④联立得又B(0,2)，∴M(0，－2)．综上可知，圆C上存在点M(－2，－2)、M(1，－1)、M(0，－2)，使得△MBF为等腰三角形．
