限时集训(五十三)曲线与方程(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲线是()A．一条直线和一条双曲线B．两条双曲线C．两个点D．以上答案都不对2．(·无锡调研)下列各点在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲线上的是()A．(0,0)B．(1,1)C．(1，－1)D．(1，－2)3．已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足|＋|＝2，则P点的轨迹方程是()A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝04．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一个动点，延长F1P到点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线5．(·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.－＝1B.＋＝1C.－＝1D.＋＝16．已知A，B，C(x，y)，若⊥，则动点C的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8(x－2)D．y2＝－8(x－2)7．设i、j分别是平面直角坐标系x轴、y轴正方向上的单位向量，a＝(x＋1)i＋yj，b＝(x－1)i＋yj，且|a|－|b|＝1，则点P(x，y)的轨迹方程是()A.－＝1(y≥0)B.－＝1(x≥0)C.－＝1(y≥0)D.－＝1(x≥0)8．(·洛阳模拟)设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是()A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知△ABC的三边AB、BC、CA的长度成等差数列，且|AB|>|CA|，点B、C的坐标为(－1,0)、(1,0)，则动点A的轨迹方程是________．10．(·佛山模拟)在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a>0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．11．直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程__________．12．设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB中点为M，则点M的轨迹方程是________．13．已知直线l：2x＋4y＋3＝0，P为l上的动点，O为坐标原点．若2＝，则点Q的轨迹方程是________．14．过定点P(1,4)作直线交抛物线y＝2x2于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线．若这两条切线的交点记为M，则点M的轨迹方程是________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．过双曲线x2－y2＝1上一点M作直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段MN的中点P的轨迹方程．16．已知动圆P过点F且与直线y＝－相切．(1)求圆心P的轨迹C的方程；(2)过点F作一条直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C在A，B两点处的切线相交于N，M为线段AB的中点，求证：MN⊥x轴．17．(·湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．答案[限时集训(五十三)]1．C2.D3.A4.A5.D6.B7.B8．A9．解析：由题意知|AB|＋|CA|＝2|BC|＝4，由椭圆的定义，知动点A的轨迹为＋＝1(x>0且y≠0)．答案：＋＝1(x>0且y≠0)10．解析：由正弦定理：－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，且为双曲线右支．答案：－＝1(x>0且y≠0)11．解析：设直线＋＝1与x，y轴交点为A(a,0)，B(0，2－a)，A，B中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1， a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1.答案：x＋y＝1(x≠0，x≠1)12．解析：F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，y＝4x1，y＝4x2，后两式相减并将前两式代入得(y1－y2)y＝2(x1－x2)，当x1≠x2时，×y＝2.又A、B、M、F四点共线，＝，代入得y2＝2(x－1)，当x1＝x2时，M(1,0)也适合这个方程，即y2＝2(x－1)是所求的轨迹方程．答案：y2＝2(x－1)13．解析：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x1，y1)．根据2＝，得2(x，y)＝(x1－x，y1－y)，即 点P在直线l...
