第八节圆锥曲线的综合问题[全盘巩固]1.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2C.D.解析：选B设椭圆长半轴长为a(a>0)，则双曲线半实轴的长为，由于双曲线与椭圆共焦点，设焦距为2c，所以双曲线的离心率e1＝＝，椭圆的离心率e2＝，所以＝＝2.2．(·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选D由题意知kAB＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝0.由AB的中点是(1，－1)知则＝＝，联立a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，故椭圆E的方程为＋＝1.3．(·长春模拟)已知实数4，m,9构成一个等比数列，则圆锥曲线＋y2＝1的离心率为()A.B.C.或D.或7解析：选C因为4，m,9成等比数列，所以m＝±6，当m＝6时，＋y2＝1为椭圆a2＝6，b2＝1，c2＝5.所以离心率e＝＝＝；当m＝－6时，y2－＝1为双曲线，a2＝1，b2＝6，c2＝7，所以离心率e＝＝.4．(·湖州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B依题意得，△OFM的外接圆半径为3，△OFM的外接圆圆心应位于线段OF的垂直平分线x＝上，圆心到准线x＝－的距离等于3，即有＋＝3，由此解得p＝4.5．(·全国高考)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，则k＝()A.B.C.D．2解析：选D如图所示，设F为焦点，取AB中点P，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为G，H，连接MF，MP，由·＝0，知MA⊥MB，则|MP|＝|AB|＝(|AG|＋|BH|)，所以MP为直角梯形BHGA的中位线，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM为公共边，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90°，则MF⊥AB，所以k＝－＝2.6.如图，已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线x－my＋m＝0与抛物线交于A、B两点，且△OAB(O为坐标原点)的面积为2，则m6＋m4的值是()A．1B.C．2D．4解析：选C设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意可知，＝－m，将x＝my－m代入抛物线方程y2＝2px(p>0)中，整理得y2－2pmy＋2pm＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pm，则(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝(2pm)2－8pm＝16m4＋16m2，又△OAB的面积S＝×|y1－y2|＝(－m)×4＝2，两边平方即可得m6＋m4＝2.7．(·安徽高考)已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析：法一：设直线y＝a与y轴交于点M，抛物线y＝x2上要存在点C，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A、B外的交点即可，也就是使|AM|≤|MO|≤，即a(a>0)，所以a≥1.法二：易知a>0，设C(m，m2)，由已知可令A(，a)，B(－，a)，则＝(m－，m2－a)，＝(m＋，m2－a)，因为⊥，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因为由题易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1∞，＋)．答案：[1∞，＋)8．若C(－，0)，D(，0)，M是椭圆＋y2＝1上的动点，则＋的最小值为________．解析：由椭圆＋y2＝1知c2＝4－1＝3，∴c＝，∴C，D是该椭圆的两焦点，令|MC|＝r1，|MD|＝r2，则r1＋r2＝2a＝4，∴＋＝＋＝＝，又 r1r2≤＝＝4，∴≥＋＝1.当且仅当r1＝r2时，上式等号成立．故＋的最小值为1.答案：19．曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，而a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1，0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，所以③正确．答案：②③10．已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为(0,2...
